2 .3. Компактная схема метода Гаусса
Обозначим через
и
элементы матриц
и
,
соответственно,
в LU
– разложение
матрицы
.
Элементы матрицы
теперь вычисляются по формуле
Эти уравнения относительно и рекуррентно разрешимы, при этом
Из (19) получаем
Формулы (19), позволяющие найти треугольные матрицы и в разложении (9), называются компактной схемой метода Гаусса.
2.4. Метод прогонки
Пусть
матрица
является трехдиагональной
.
Главную и
побочные диагонали матрицы
обозначим через
,
,
;
столбец свободных членов системы (1)
обозначим через
.
Теперь систему (1) можно записать в виде
Построим формулы LU – разложения матрицы системы (20):
В этом случае формулы (19) принимают вид
Алгоритм решения системы (20) принято записывать в виде:
где
коэффициенты
вычисляются
по рекуррентным формулам
Алгоритм
(21)-(22) решения систем с трехдиагональной
матрицей называется методом
прогонки. Сначала
по формулам (22) находятся коэффициенты
,
.
Вычисление величин
,
называется прямой
прогонкой.
Теперь, решая совместно последнее
уравнение системы (20) и уравнение (21),
отвечающее
,
найдем координаты
решения системы, если только полученная
система совместна. Зная
,
по формулам (21) определим остальные
координаты решения
.
Вычисление координат
решения
системы (20) в обратном порядке называется
обратной
прогонкой.
Для реализации алгоритма потребуется
примерно
арифметических операций.
Замечание 9. Пусть матрица системы (20) имеет преобладающую главную диагональ и выполнены условия:
где
Условия
(23)
гарантируют существование единственного
решения
системы
(20)
и позволяют осуществить прямой и обратный
ходы прогонки (формулы (21)-(22)).
При этом
2.4. Точность решения
Точность
является важнейшей характеристикой
любого численного метода, в том числе
и разложения матрицы на множители. Пусть
найдено LU
– разложение матрицы
.
Обозначим через
реально
вычисленные матрицы прямого хода метода
Гаусса. Тогда
и эквивалентное возмущение удовлетворяет неравенству (см. формулы (14),(15),(16))
где
функция
зависит
только от размерности
матрицы системы (1) и способа получения
разложения.
Связь
точности решения системы с точностью
разложения матрицы на множители гораздо
сложнее. Реально вычисленное решение
системы
(1) является точным решением возмущенной
системы (2):
.
При этом
где
если только в пределах таких возмущений
матрица
остается невырожденной.
Для относительной погрешности решения системы (1) в этом случае имеет место оценка
3. Итерационные методы
Изложенные
выше прямые методы решения системы (1)
теоретически приводят к точному решению.
Здесь мы опишем итерационные методы, с
помощью которых в принципе может быть
построено не само решение
,
а последовательность элементов
к
нему сходящаяся
при
.
Некоторый элемент
,
достаточно близкий к решению
- пределу последовательности, принимается
за приближенное решение. Таким образом,
итерационные методы имеют некоторую
теоретически необходимую ошибку
(алгоритмическую ошибку метода).
Это обстоятельство не является их
недостатком по сравнению с прямыми
методами. Алгоритмическая ошибка может
быть сделана меньше, чем погрешность,
вызванная ошибками округления при
реализации прямого метода.
Общим недостатком итерационных методов является наличие дополнительных условий для сходимости последовательности приближенных решений.
Конечно, сходимость итерационных методов может иметь место только теоретически. При наличии ошибок округления вычисленные приближения будут отличаться от истинных. Поэтому нельзя гарантировать, что вычисленные приближения с достаточно большими номерами лежат в сколь угодно малой окрестности решения . Можно только утверждать, что они попадают в некоторую окрестность решения, размеры которой определяются точностью вычислений. После того как получено приближенное решение из этой окрестности, продолжение вычислений не повышает точности результата.