2.2. Метод Гаусса с выбором ведущего (главного) элемента
Пусть - произвольная невырожденная матрица. Вместо последовательности (7) рассмотрим последовательность матриц
где
-
матрицы перестановок, причем
Для любого
в (17) выберем матрицы перестановок так,
чтобы в позициях
матриц
находились ненулевые элементы и каждая
из матриц
строится согласно (8) по
-ому
столбцу матрицы
.
Описанный алгоритм (17) называют методом Гаусса с выбором ведущего (главного) элемента.
Внимание!
В позиции
матрицы
стоит
тот же элемент, который находится в
позиции
матрицы
.
Поэтому для осуществимости процесса
(16)
необходимо выбирать такие перестановки
,
индексы
которых определяют позицию ненулевого
элемента матрицы
.
Реализуя процесс (17), получим следующее разложение матрицы на множители
В разложении (18) матрицы, стоящие в скобках уже не являются треугольными.
Рассмотрим
матрицы
.
Очевидно матрицы
являются матрицами типа
(см. (8)) и отличаются от матриц
лишь перестановкой поддиагональных
элементов в
-ом
столбце.
Равенство (18) можно записать в виде
где
Сравнивая
найденное представление с (9), делаем
вывод, что процесс (17) определяет
разложение на треугольные множители
матрицы
,
которая получается из матрицы
путем перестановок ее строк и столбцов.
Так как перестановки не вносят
дополнительных ошибок, то оценки (15),
(16) переносятся на матрицу
и процесс (17). Следовательно, рост
элементов матриц
полностью определяется стратегией
выбора перестановок (ведущих элементов).
Элементы матриц в позициях процесса (17) называются ведущими (главными) элементами метода Гаусса.
Существуют три наиболее распространенные стратегии выбора ведущих элементов:
1)
В качестве ведущего элемента
-го
шага выбирается максимальный по модулю
элемент
матрицы
при условиях
;
если имеется несколько максимальных
по модулю элементов, то ведущим выбирается
любой из них; эта стратегия называется
выбором ведущего элемента по
столбцу.
2)
В качестве ведущего элемента
-го
шага выбирается максимальный по модулю
элемент
матрицы
при условиях
;
если имеется несколько максимальных
по модулю элементов, то ведущим выбирается
любой из них; эта стратегия называется
выбором ведущего элемента по
строке.
3)
В качестве ведущего элемента
-го
шага выбирается максимальный по модулю
элемент
матрицы
при условиях
;
если имеется несколько максимальных
по модулю элементов, то ведущим выбирается
любой из них; эта стратегия называется
выбором ведущего элемента по
всей матрице.
Замечание
7. Применение
стратегий выбора ведущих элементов по
столбцу и по всей матрице обеспечивает
для элементов матриц
выполнение неравенства
.
Замечание
8. Существуют
матрицы, для которых применение стратегии
выбора ведущего элемента по столбцу в
обозначениях (14)
приводит к выполнению соотношения
для всех
.
Указанный рост элементов достигается
на матрицах специального вида. В
практических вычислениях он оказывается,
как правило, не слишком большим.
Какова бы ни была матрица , применение стратегии выбора ведущего элемента по всей матрице в обозначениях (14) приводит к выполнению при всех соотношения
где
Отметим,
что эта оценка по-видимому сильно
завышена, так как до сих пор не найдено
ни одной матрицы, для которой
.
Внимание! Если матрица имеет преобладающую главную диагональ
и не осуществляется выбор ведущих элементов, то при реализации прямого хода метода Гаусса не происходит рост элементов.