ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Методическое пособие
по специальности «математика» (010100)
ВОРОНЕЖ
2006
Утверждено научно-методическим советом математического факультета протокол № ____ от ___________ 2006 года.
Составитель Трофимов В.П.
Методическое пособие подготовлено на кафедре математического моделирования математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 4 и 5 курсов дневного и вечернего отделений математического факультета, обучающихся по специальности «математика» (010100).
Разработка представляет собой дополненный вариант учебно-методического пособия [7].
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения лабораторной работы «Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений» по курсу «Методы вычислений» студентами IV-V курсов дневного и вечернего отделений математического факультета. Разработка может быть использована для самостоятельной работы студентов и подготовки к экзамену.
Литература
1. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. – 3 изд., доп. И перераб. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004 – 636 с.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков; Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 190 с.
3. Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры: Учеб. Пособие для студентов вузов/ Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева. 3 изд., стер. – СПб.: Лань, 2002. – 733 с.
4. Воеводин В.В. Матрицы и вычисления / В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. – М.: Наука, 1984. – 320 с.
5. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.
6. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов / А.И.Плис, Н.А.Сливина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1994. – 416 с.
7. Трофимов В.П. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Учебно-методическое пособие по специальности «математика» (010100). – Воронеж.: ВГУ, 2004.-35 с.
Обозначения
R - множество вещественных чисел;
N – множество натуральных чисел;
R
-
-
мерное
линейное пространство над полем
вещественных чисел R.
1. Постановка задачи
Пусть задана система линейных алгебраических уравнений
с
квадратной невырожденной матрицей
(
R,
),
,
R
,
,
.
Вектор
называется решением
системы (1),
если
.
Обычно рассматриваются следующие вычислительные задачи:
1) Нахождение решения системы (1).
2)
Вычисление определителя
матрицы
.
3)
Нахождение обратной матрицы
для невырожденной матрицы
.
Замечание
1. Всюду в дальнейшем мы будем
рассматривать только случай невырожденной
матрицы
,
.
Общий случай требует специальных
подходов к понятию решения. Отметим,
что при численных расчетах грань между
случаями
и
достаточно условна.
Из курса линейной алгебры известно, что формальное решение системы (1) существует и может быть найдено по формулам Крамера:
где
Напомним
наиболее часто используемые в R
векторные
нормы:
-
евклидова норма;
-
-
норма;
-
-
норма.
Внимание! В пространстве R все нормы эквивалентны и сходимость в любой из них влечет сходимость в остальных нормах.
Нормы матрицы , согласованные с соответствующими нормами векторов
в R
,
вычисляются по формулам
:
,
здесь через
обозначены собственные значения матрицы
,
-
транспонированная матрица, число
называется сингулярным числом матрицы
;
;
.
Для согласованных норм вектора и матрицы имеет место неравенство
Часто
используются матричные нормы:
(сферическая
норма) и
(максимальная
норма). При этом сферическая норма
согласована с евклидовой векторной
нормой, а максимальная норма согласована
со всеми рассмотренными векторными
нормами.
Решение
системы (1) непрерывно зависит от входных
данных: матрицы
и вектора правой части
.
Действительно, рассмотрим возмущенную
систему
.
Если
возмущение
удовлетворяет условию
,
то система (2) имеет единственное решение:
.
Введем
относительные величины возмущений
векторов
и
матриц
и
:
Воспользовавшись
тождеством
получим
Отсюда
для любых согласованных норм, используя
оценки
получаем:
Или
В
неравенствах (3)-(4) число
называется числом
обусловленности матрицы
в
рассматриваемой матричной норме. Из
неравенства (4) вытекает, что
при
и
.
Полученные формулы (3), (4) дают количественные оценки возмущения обратной матрицы и решения системы (1) при изменении матрицы и вектора правой части системы. Из них следует, что в окрестности любой невырожденной матрицы обратная матрица и решение системы (1) являются непрерывными функциями входных данных.
Из
очевидного неравенства
следует, что
.
Таким образом, хорошо
обусловлены
матрицы с малым числом обусловленности,
при этом относительная погрешность
решения системы (1) мала.
Замечание
2. Для
априорной оценки числа обусловленности
требуется найти обратную матрицу к
заданной матрице
-
это самостоятельная сложная вычислительная
задача.
Замечание
3. Анализ
погрешности округления при решении
системы (1)
позволяет (с помощью достаточно громоздких
выкладок) получить следующие оценки
для
и
:
где
-
разрядность ЭВМ,
-
машинное
эпсилон.
Из формулы (4) следует оценка относительной погрешности решения системы:
Пример 1. Пусть матрица имеет вид:
Нетрудно найти решение системы (1) с матрицей :
Отсюда
следует, что если
задано с погрешностью
,
то погрешность в вычислении
будет равна
.
При
эта
погрешность будет величиной порядка
и мы рискуем не иметь в решении системы
ни одного верного знака. Возникшая
ситуация может быть предсказана с
помощью такой характеристики матрицы
,
как число обусловленности. Вычислив
обратную матрицу
,
получим
Для
выбранных параметров
и,
следовательно, матрица
плохо обусловлена.
Из
этого примера можно извлечь еще одно
следствие, состоящее в том, что большое
число обусловленности матрицы нельзя
обязательно связывать с близостью к
вырожденности или наличию малого
собственного значения. Можно пронормировать
матрицу
,
разделив все ее элементы на
.
Тогда мы получим матрицу
Матрица
-
плохо обусловлена, но ее собственные
значения отнюдь не малы.
Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на две большие группы: прямые и итерационные методы.
Прямые методы позволяют найти решение системы (1) за конечное число шагов. Они с алгебраической точки зрения достаточно просты и являются наиболее универсальными. Их существенным недостатком при использовании ЭВМ среднего класса является ограничение на размер матрицы системы (1).
Итерационные
методы часто используются для решения
больших систем
со специальными матрицами (разреженными,
слабозаполненными).