Д) Інваріантні підпростори

Підпростір V₁ простору V називається інваріантним відносно лінійного перетворення А, якщо образ Ах кожного вектора х із V₁ належить V₁.

Теорема 1. Перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператора А, інваріантні відносно А.

Теорема 2. Якщо А – невироджене лінійне перетворення і V₁ – підпростір, інваріантний відносно А, то V₁ інваріантний і відносно А^-1.

е) Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

Вектор називається власним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число λ, що Ах=λх. Число λ називається власним значенням перетворення А, яке відповідає власному вектору х.

Якщо власні вектори е₁, е₂, …, е_п прийняти за базисні, то із рівностей Ае₁=λ₁е₁, Ае₂=λ₂е₂,…, Ае_п=λ_пе_п (така матриця називається діагональною). Ясно, що правильне і зворотне: якщо матриця перетворення А в деякому базисі є діагональною, то всі векто-ри цього базису будуть власними векторами перетворення А.

Теорема1. Власні вектори лінійного перетворення А, що відповідають попарно

різним власним значенням, лінійно незалежні.

Многочлен п-го степеня відносно λ, який називається характеристичним многочленом перетворення А в базисі е. Він є визначником матриці А-λЕ.

Теорема 2. Характеристичний многочлен лінійного перетворення не залежить

від вибору базису.

9.Евклідові простори.

Основні поняття . а) Скалярний добуток

У звичайному тривимірному просторі скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин, помножений на косинус кута між ними. Для векторів х та у їх скалярний добуток позначається (х, у). Отже,

(x, y)= (x,y).

Властивості:

1. x, y V [(x, y)=(y, x)]. В комплексному просторі (х, у)=

2. x, y V , [(αx, y)=α(x, y)].

3. x, y, z V [(x+y, z)=(x, z)+(y, z)].

4. x V [(x, x) ≥ 0, причому із (х, х)=0 випливає х=0].

У п - вимірному векторному просторі V вважається заданим скалярний добуток, якщо кожній парі векторів x, y V поставлено у відповідність число (х, у) так, що виконуються умови 1-3.

Векторний простір, в якому заданий скалярний добуток, який задовольняє умовам 1 - 4, називається евклідовим простором.

Із рівностей 1-3 випливають співвідношення:

2′. (x, αy)=(αy, x)=α(y, x)=α(x, y) (V - дійсний),

(x, αy)= = = (x, y) (V – комплексний),

3′. (z, x+y)=(x+y, z)=(x, z)+(y, z)=(z, x)+(z, y).

Довжиною вектора х називається корінь квадратний із його скалярного квадрата:

Кут між векторами х та у визначається рівністю

.

Нерівність Коші-Буняковського.

або або |(x, y)| .

Модуль скалярного добутку двох векторів не перевищує добутку їхніх модулів.

Вектори х та у, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються ортогональними.

б) Ортонормований базис

Базис е₁, е₂, ..., е_п евклідового простору називається ортогональним, якщо при .

Якщо, крім того, при і=1, 2, ..., п, то базис називається ортонормованим.

Теорема 1. Ортогональна система векторів лінійно незалежна.

Теорема 2. В кожному евклідовому просторі існують ортонормовані базиси.

в) Скалярний добуток в координатах

Нехай е₁,е₂,...,е_п – довільний базис евклідового простору V, х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п, у=у₁е₁+у₂е₂+...+у_пе_п – два довільні вектори цього простору. Тоді

Якщо базис е₁,е₂,...,е_п – ортонормований, то

(x,y)=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n .

Помноживши обидві частини рівності х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п скалярно на е_і , отримаємо, що (х,е_і)=х_і, тобто і-та координата вектора х в ортонормованому базисі дорівнює скалярному добутку вектора х на одиничний вектор е_і. Цей скалярний добуток називають проекцією вектора х на вектор е_і. Отже, координати вектора в ортонормованому базисі – це його проекції на базисні вектори.

г) Ортогональне доповнення

Два підпростори V₁ та V₂ евклідового простору V називаються взаємно ортогональними, якщо кожний вектор із V₁ ортогональний кожному вектору із V₂ (позначають V₁ V₂).

Теорема 3. Для того, щоб підпростори V₁ та V₂ були взаємно ортогональними, необхідно і достатньо, щоб всі базисні вектори одного були ортогональні всім базисним векторам другого.

Теорема 4. Два взаємно ортогональних підпростори перетинаються по нульовому вектору.

Теорема 5. Кожний вектор х із V, ортогональний V₁, належить V₂.

Підпростір V₂, утворений всеможливими векторами із V, ортогональними до всіх векторів із V₁, називається ортогональним доповненням V₁. Позначають його .

Підпростори V₁ і V₂ породжують V і перетинаються по нульовому вектору. Значить, евклідів простір V являє собою пряму суму довільного свого підпростору і його ортогонального доповнення:

Тому кожний вектор х із V можна однозначно подати у вигляді суми

x=y+z, де

Лінійні перетворення в евклідовому просторі

а) Перетворення, спряжене до даного

Нехай – лінійне перетворення евклідового простору . Лінійне перетворення , для якого при всіх x, y V

(Ax, y) = ( x, A^*y), називається спряженим до A.

Властивості:

1. .

Дійсно, (x, y) = ( x, y) = (x, y) = (x, y).

2. .

Дійсно, (Ax, y) = (x, A*y) = (A*y, x) = (y, (A*)^* x) = ((A*)^* x, y).

3. .

Дійсно, (x, (A + B)*y) = ((A + B)x, y) = (Ax + Bx, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =

= (x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A^* + B*)y).

4.

Дійсно, (x, (AB)*y) = ((AB)x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B^*(A*)y) = (x, (B ^*A*)y).

5. Якщо існує, то .

Дійсно, .

б) Самоспряжені перетворення

Самоспряженим (симетричним) називається перетворення, яке співпадає із своїм спряженим, тобто .

Якщо A – самоспряжене перетворення, то x, y V (Ax, y)=( x, Ay).

Якщо матрицею самоспряженого перетворення A в ортонормованому базисі є A=[a_ij], тоді A' = A, тобто a_ij = a_ji. Така матриця називається симетричною.

Властивості

1. Тотожнє перетворення є самоспряженим, оскільки .

2. Сума самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням.

.

3. Перетворення, обернене до невиродженого самоспряженого перетворення, є самоспряженим перетворенням.

.

4. Добуток самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням тоді і тільки тоді, коли ці перетворення переставні між собою.

а) якщо , і , то , тобто .

б) якщо , і , то , тобто – самоспряжене перетворення.

5. Якщо підпростір інваріантний відносно лінійного перетворення A, то його ортогональне доповнення інваріантне відносно спряженого до A перетворення .

Нехай х – довільний вектор із , у – довільний вектор із . Тоді (A^*x, y) = = (x, Ay) = 0, оскільки Ay і, значить, х Ay. Значить, вектор A^*x , і є інваріантним відносно .

Наслідок. Якщо A – самоспряжене перетворення і підпростір, інваріантний відносноA, то і інваріантний відносно A.

6. Всі корені характеристичного многочлена самоспряженого перетворення A дійсні (власні значення самоспряженого оператора дійсні).

(Ax, х) = (λx, х),

(x, Aх) = = ( x, х).

Оскільки A – самоспряжений, то (Ax, х) = (x, Aх), значить , тобто – дійсне.

7. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням самоспряженого оператора, ортогональні.

Нехай – власні значення самоспряженого оператора A, а х₁ та х₂ – відповідні їм власні вектори.

(Ax₁, х₂) = λ₁(x₁, х₂), (x₁, Aх₂) = λ₂ (x₁, х₂).

(Ax₁, х₂) = (x₁, Aх₂ ), бо A – самоспряжений. Тоді

(x₁, х₂) = 0 (x₁, х₂) = 0,

що й треба було довести.

8. Матриця самоспряженого оператора в деякому ортонормованому базисі зводиться до діагонального вигляду.

в) Ортогональні перетворення

Лінійне перетворення A евклідового простору V називається ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток векторів, тобто якщо x, y V (Ax, Ay) = (x, y).

Це означає , що ортогональне перетворення зберігає довжини векторів та кути між ними (тому ортогональні перетворення іноді називають ізометричними).

Ясно, що ортогональне перетворення переводить довільний ортонормований базис в ортонормований і навпаки.

Властивості:

1. , тобто .

Дійсно, якщо A - ортогональне перетворення і - спряжене до нього перетворення, то x, y V

(x, y) = (Ax, Ay) = (x, A^*( A y)) = (x, A^* A y).

Значить, або . Із отриманих рівностей видно, що ортогональне перетворення завжди не вироджене.

2. Перетворення обернене до ортогонального, теж ортогональне.

Дійсно, якщо , то .

Сума ортогональних перетворень, взагалі кажучи, не буде ортогональним перетворенням.

2. Добуток ортогональних перетворень є ортогональним перетворенням.

Дійсно, .

Матриця A, для якої A' = A^-1, називається ортогональною матрицею.

2. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

Дійсно, із AA' = E випливає: |AA'| = |A||A'| = |E| = 1.

Оскільки |A| = |A'| (транспонування не змінює визначника), то:

|A|² = 1 , і .

2. Власні значення ортогонального перетворення дорівнюють .

Дійсно, якщо x - власний вектор і - відповідне йому власне значення ортогонального перетворення A, то:

(x, x) = (Ax, Ax) = (λx, λx) = λ²(x, x),

звідки, оскільки (x, x) ≠ 0, отримуємо , і .

2. Якщо підпростір інваріантний відносно ортогонального перетворення A, то його ортогональне доповнення теж інваріантне відносно A.