4.Предел функции.

30) Дать определение предела функции по Коши и по Гейне. Доказать эквивалентность этих определений.

По Гейне: Число А называется пределом функции в точке «а», если для любой последовательности значений аргумента {x_n} такой, что lim x_n=a, последовательность соответствующих значений функции {f(x_n)} имеет один и тот же предел, равный А.

По Коши: число А называется пределом функции f(x) в точке x=a, если для любого >0 существует такое >0, что если удовлетворяется неравенство |x-a|<, то удовлетворяется неравенство |f(x)-A|<.

Докажем их равносильность:

Если функция имеет предел по Гейне, то найдётся такой номер N, что при n>N будут выполняться оба неравенства |x-a|<, |f(x)-A|<, а это значит, что существует предел и по Коши. Если функция имеет предел по Коши, то взяв последовательность значений аргумента такую, что при n>N будет выполняться неравенство |x_n-a|<, убедимся, что в этом случае (при n>N) будет выполняться неравенство |f(x₀)-A|<, а это значит, что функция имеет предел и по Гейне.

31) Бесконечно малая функция. Доказать теорему о функции, её пределе и бесконечно малой функции.

Бесконечно малая функция – это функция, предел которой равен нулю.

Число А является пределом функции y=f(x) при xa тогда и только тогда, когда эту функцию можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции.

Доказательство:

Пусть f(x)=A+(x), где (x)-бесконечно малая функция при xa. Это значит, что каково бы ни было >0, найдётся такое >0, что если |x_n-a|<, то |(x)|<  и |f(x)-A|<, т.е число А является пределом функции.

32) Доказать арифметические теоремы о пределах функций:

- о пределе суммы и разности двух функций, имеющих пределы;

- о пределе произведения бесконечно малой функции на ограниченную функцию;

- о пределе произведения двух функций, имеющих пределы;

- о пределе частного двух функций, имеющих пределы.

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если эти пределы существуют.

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой функцией.

Предел произведения двух функций, имеющих пределы равен произведению этих пределов.

Предел частного двух функций, имеющих предел, равен отношению пределов этих функций.

33) Доказать теорему о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.

Если f(x) – бесконечно большая функция при xa, то 1/f(x) – бесконечно малая.

34) Односторонние пределы. Доказать теорему о связи существования предела функции в точке с существованием односторонних пределов функции.

Число А называется пределом функции f(x) в точке х=а, если каково бы ни было >0, найдётся такое >0, что для любого х, удовлетворяющего условию a<x<a+ выполняется неравенство |f(x)-A|<.

Аналогично определение левого предела функции, только в этом случае x должен удовлетворять условию a-<x<a.

Функция f(x) имеет предел в точке х=а тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правый и левый пределы, и они раны между собой. Общее значение этих пределов и является пределом функции f(x) в точке х=а.