- •Математический анализ.
- •1.Множества.
- •1) Множество, его характеристическое свойство. Способы задания. Привести примеры.
- •2) Множества: конечные, бесконечные. Отношения включения, универсальное множество. Диаграмма Эйлера-Венна. Привести примеры.
- •2.Общие свойства функций.
- •13) Обратная функция. Необходимое и достаточное условие обратимости. Доказать признак обратимости функции.
- •14) Доказать теорему о графиках взаимно-обратных функций. Отыскание обратных для алгебраических и трансцендентных. Привести примеры.
- •15) Чётные и нечётные функции. Доказать теоремы об их графиках. Доказать арифметические теоремы об указанных функциях. Привести примеры.
- •17) Периодические функции. Доказать арифметические теоремы о периодических функциях. Доказать теорему о периодичности сложной функции от периодической функции. Привести примеры.
- •3.Числовые последовательности и пределы.
- •4.Предел функции.
- •31) Бесконечно малая функция. Доказать теорему о функции, её пределе и бесконечно малой функции.
- •32) Доказать арифметические теоремы о пределах функций:
- •33) Доказать теорему о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.
- •34) Односторонние пределы. Доказать теорему о связи существования предела функции в точке с существованием односторонних пределов функции.
- •35) Доказать теоремы о единственности предела в точке и о предельном переходе в равенстве двух функций.
- •5.Непрерывность функции в точке.
- •6.Производная функции в точке.
- •7.Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •56) Доказать теорему Роля и теорему Лагранжа о конечном приращении функции. Рассказать о геометрической интерпретации этих теорем.
- •Алгебра.
- •8.Линейная функция.
- •9.Квадратный трёхчлен.
- •10.Комплексные числа.
- •62) Комплексная плоскость. Действия над комплексными числами в декартовой форме.
- •68) Комплексно-сопряжённые числа. Теоремы о сопряжённости суммы и произведения комплексно-сопряжённых чисел.
- •11.Теория многочленов.
- •69) Действия над многочленами. График многочлена. Алгоритм деления многочленов с остатком (алгоритм Евклида).
- •70) Теорема Безу. Следствия.
- •12.Дробно-рациональная функция.
- •76) Правильная и простейшие рациональные дроби. Теорема о представлении рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Алгоритм разложения правильной дроби в сумму простейших дробей.
- •13.Степенная и показательная функция.
- •14.Логарифм числа и логарифмическа функция.
- •15.Тригонометрические функции.
- •Стереометрия.
- •16.Аксиоматика Вейля-Рашевского.
- •102) Аксиоматический метод. Независимость, полнота и непротиворечивость системы аксиом.
- •109) Понятие направления. Отношения сонаправленности, противонаправленности и коллинеарности векторов.
- •110) Аксиомы размерности. Два определения линейной зависимости (независимости) векторов. Доказать их эквивалентность.
- •111) Доказать теорему о системе векторов, содержащей линейно зависимую подсистему. Следствия.
- •112) Доказать теорему о подсистеме линейно независимой системы векторов.
- •17.Аффинное пространство.
- •113) Аффинное пространство. Базис. Размерность. Привести примеры аффинных пространств различной размерности.
- •114) Доказать теорему о существовании и единственности разложения вектора по произвольному базису. Координаты векторов.
- •115) Аффинная система координат. Радиус-вектор. Координаты точки. Доказать теорему о координатах векторов.
- •116) Доказать теорему о координатах суммы векторов.
- •117) Аффинное пространство. Доказать теорему о координатах вектора, умноженного на число.
- •18.Метрнческое пространство
- •151) Векторное произведение и коллинеарности векторов. Правые (левые) тройки векторов в декартовой системе.
- •152) Смешанное произведение векторов. Доказать свойства смешанного произведения. Смешанное произведение векторов в декартовой системе координат. Доказать признак компланарности векторов.
- •153) Расстояние между геометрическими фигурами. Вывести формулу дли вычисления расстояния от точки до плоскости.
- •154) Вывести формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.
2.Общие свойства функций.
12) Действительная функция одного действительного переменного. Способы задания. Монотонность, ограниченность, чётность, нечётность, периодичность. Понятие сложной функции. Привести примеры.
Действительная функция одного действительного переменного – это соответствие, относящее каждому значению переменного не более одного значения функции.
Способы задания: 1) неявный вид (2х-у+5=0)
2) явный вид (у=2х+5)
3) параметрический (система: х=g(t); y=f(t))
4) кусочное
Функция называется монотонной, если она является неубывающей, невозрастающей. И строгомонотонной, если она является или возрастающей, или убывающей.
Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех значений аргумента из области определения функции справедливо: f(x)М. Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число М, что для всех значений аргумента из области определения функции справедливо: f(x)М.
Функция называется четной, если её область определения симметрична относительно нуля и f(x)=f(-x).
Функция называется нечетно, если её область определения симметрична относительно нуля и f(x)=-f(-x).
Функция называется периодичной с периодом Т, если для любого х из области определения функции справедливо: f(x+T)=f(x-T)
Соответствие, относящее к каждому у0E(f) единственное x0D(f), называется обратной функцией x=f-1(y) по отношению к функции y=f(x).
13) Обратная функция. Необходимое и достаточное условие обратимости. Доказать признак обратимости функции.
Соответствие, относящее к каждому у0E(f) единственное x0D(f), называется обратной функцией x=f-1(y) по отношению к функции y=f(x).
Достаточным (признак) условием существования обратной функции является строгая монотонность, а необходимым одно-однозначность соответствия.
14) Доказать теорему о графиках взаимно-обратных функций. Отыскание обратных для алгебраических и трансцендентных. Привести примеры.
Графики двух взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. (Доказывается через квадрат).
Трансцендентные функции - это функции образованные неалгебраическими действиями (sin, cos).
15) Чётные и нечётные функции. Доказать теоремы об их графиках. Доказать арифметические теоремы об указанных функциях. Привести примеры.
Функция называется четной, если её область определения симметрична относительно нуля и f(x)=f(-x).
Функция называется нечетно, если её область определения симметрична относительно нуля и f(x)=-f(-x).
Теоремы о сложении, вычитании, умножении чётных, нечётных функций. (Доказывается через определение)
График чётной функции симметричен относительно оси координат (оу). (Доказывается через определение)
График нечётной функции симметричен относительно начала координат. (Доказывается через определение)
16) Периодические функции. Основной период. Доказать теорему о связи периода функции у=f(kx) с периодом функции y=f(x). Привести примеры.
Функция f(x) называется периодической с периодом Т, если выполняется равенство f(x-t)=f(x+t).
Наименьший положительный период функции называется основным.
Если Т является основным периодом функции f(х), то Т\k, где k , является периодом функции f(kх).
Док-во:
f(x)=f(x+t) (1)
F(kx)=f(k(x+P)) (2)
если х=kx, то (1): F(kx)=f(kx+t) левые части (1) и (2) равны, значит равны и правые:
f(kx+T)=F(k(x+P))
kx+T= k(x+P)
P=T/k
ч.т.д.