Математический анализ.

1.Множества.

1) Множество, его характеристическое свойство. Способы задания. Привести примеры.

Множество состоит из элементов множества, обладающих каким-либо характеристическим свойством.

Характеристическое свойство множества – например, множество четырёхугольников с равными сторонами и тп.

Способы задания множеств: 1) конечное множество можно задать перечислением;

2) с помощью характеристического свойства.

2) Множества: конечные, бесконечные. Отношения включения, универсальное множество. Диаграмма Эйлера-Венна. Привести примеры.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, а из бесконечного – бесконечным.

Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент множества А является элементом множества В (АВ). Если множество А является подмножеством В и если АВ, то говорят, что множество А включено в множество В (АВ).

Множество по отношению к своим подмножествам является универсальным. Универсальным называется множество, в которое включены все возможные множества.

Ос новное в диаграмме Эйлера-Вена то, что все множества отображаются замкнутыми контурами, а универсальное буквой U и всегда в виде прямоугольника.

3) Операция пересечения множеств. Доказать коммутативность и ассоциативность пересечения, дистрибутивность относительно объединения. Привести примеры.

Пересечением множеств А и В называется множество АВ, состоящее только из тех элементов, которые входят и в множество А и в множество В. С=АВ={x| xA  xB}

Коммутативность: АВ=ВА. Ассоциативность: (АВ)С=А(ВС). Дистрибутивность: А(ВС)=(АВ)(АС).

3) Операция объединения множеств. Доказать коммутативность и ассоциативность объединения, дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств.

Объединением множеств А и В называется множество АВ, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. С=АВ={x| xA  xB}.

Коммутативность: АВ=ВА. Ассоциативность: (АВ)С=А(ВС). Дистрибутивность:

А(ВС)=(АВ)(АС).

4) Операция разности множеств. Доказать антидистрибутивность разности относительно объединения множеств. Привести примеры.

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству а, но не принадлежат множеству В. С= АВ={x|xА  хВ}

С(АВ)(СА)(СВ)

5) Операция дополнения множеств. Доказать антидистрибутивность дополнения относительно пересечения множеств. Привести примеры.

Дополнением множества А называется разность между универсальным множеством и множеством А.

Дополнение (АВ)дополнение (А)дополнение (В)

6) Упорядоченная пара. Операция декартова произведения множеств. Доказать некоммутативность декартова произведения. Привести примеры.

Упорядоченной парой называется объект (а₁, а₂), который состоит из двух элементов и в, котором определено какой из них считать первым, а какой вторым.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество АВ, состоящее из всех возможных упорядоченных пар, в которых на первом месте стоит элемент множества А, а на втором - В. АВ={(x;y)|xA; yB}

7) Декартов квадрат множества. Понятие отношения. Привести примеры.

Декартов квадрат: А²=АА

Всякое подмножество декартового квадрата множества называется бинарным отношением.

8) Соответствие между множествами. Множества (области) определения и значений. Способы задания. Образ и прообраз элемента множества. Привести примеры.

Соответствием между множествами А и В называется любое подмножество их декартова произведения.

Множество первых координат упорядоченных пар, принадлежащих соответствию S, называется областью определения, а множество вторых – областью значения.

Способы задания:1)граф, 2)перечисление S={(a,b); (a_n,b_n)}, 3)S=AB

Полным образом элемента аА, называется множество всех элементов bВ, для которых выполняется соответствие aSb. Полным прообразом элемента bВ, называется множество всех элементов аА, для которых выполняется соответствие aSb.

9) Одно-однозначные, одно-многозначные, много-однозначные, много-многозначные соответствия. Привести примеры.

Соответствие называется одно-однозначным, если единственному элементу множества А ставится в соответствие единственный элемент множества В.

И т. д. и т. п.

10) Функциональное соответствие. Область определения и множество значений. Привести примеры.

Соответствие f между элементами множества x и y называется функциональным, если каждому элементу множества х соответствует не более одного элемента множества y.

Множество всех первых координат упорядоченной парой называется областью определения функции, а множество всех вторых координат – областью значения.

11) Взаимно обратные соответствия. Свойства их графиков. Привести примеры.

Соответствии, относящие каждому yE(f) единственное значение x₀D(f), называется обратной.

Графики двух взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. (Доказывается через квадрат).