6. Стаціонарні випадкові процеси

Випадковий процес називають стаціонарним, якщо його основні характеристики не залежать від часу, тобто інваріантні при довільному зсуві в часі. У ширшому розумінні випадковий процес вважають стаціонарним, якщо у будь-який момент часу математичне сподівання є постійною величиною, а кореляційна функція залежить лише від різниці аргументів і , тобто

, де .

Спектральною щільністю стаціонарного випадкового процесу називається границя відношення дисперсії, що припадає на даний інтервал частот, до довжини цього інтервалу, при умові коли довжина інтервалу прямує до нуля.

Спектральна щільність та кореляціна функція пов’язані між собою перетворенням Фур’є. В дійсній формі відповідні формули матимуть вигляд

та .

Дисперсія стаціонарного випадкового процесу рівна

.

Стаціонарний процес із постійною спектральною щільністю називається білим шумом.

Нормованою спектральною щільністю стаціонарного випадкового процесу називається функція

.

Приклад 12. Довести, що випадковий процес

,

де та − некоорельовані випадкові величини з метематичними сподіваннями рівними нулю і дисперсіями рівними є стаціонарним.

Розв’язання. .

Випадковий процес є центрованим, а тому

.

Таким чином, кореляційна функція випадкового процесу залежить від різниці , а тому цей процес є стаціонарним.

Приклад 13. Знайти спектральну щільність випадкового процесу, якщо його кореляційна функція рівна

Розв’язання.

Покладаючи у цій формулі отримаємо, що спектральна щільність випадкового процесу з кореляційною функцією рівна

Приклад 14. Задано кореляційну функцію стаціонарного випадкового процесу . Знайти кореляційну функцію стаціонарного випадкового процесу .

Розв’язання. . Зі співвідношення знайдемо, що , .

Стаціонарні випадкові величини та називаються стаціонарно зв’язаними, яrщо їхня взаємна кореляціна функція залежить лише від різниці аргументів, тобто

, де .

Величину , яка пов’язана зі взаємною кореляційною функцією двох стаціонарно зв’язаних випадкових процесів перетворенням Фур’є називають взаємною спектральною щільністю випадкових процесів та . У дійсній формі мають місце формули

та

.

Стаціонарною лінійною динамічною системою називається пристрій, який задається лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами

де − вхідний стаціонарний випадковий процес, − вихідний випадковий процес. Якщо динамічна система є стійкою, то при достатньо великих значеннях , тобто по закінченні певного перехідного процесу, функцію можна вважати стаціонарною.

В операторній формі рівняння (5.1) має вигляд

Передаточною функцією системи (5.1) називається функція

.

Функцію називають частотною характеристикою системи (5.1). Спектральні щільності вхідного і вихідного стаціонарних процесів пов’язані співвідношенням

.

Приклад 15. На вхід лінійної стаціонарної динамічної системи, що задається рівнянням подається стаціонарний випадковий процес з математичним сподіванням . Знайти математичне сподівання випадкового процесу , що встановлюється на виході після згасання перехідного процесу.

Розв’язання. Знайдемо математичне сподіванння від обидвох частин рівняння, яке задає динамічну систему

, або

.

Оскільки та − стаціонарні випадкові процеси, то , . Тобто , звідки отримаємо, що .

Приклад 16. На вхід лінійної стаціонарної динамічної системи, що задається рівнянням подається стаціонарний випадковий процес з кореляційною функцією . Знайти дисперсію випадкового процесу , що встановлюється на виході після згасання перехідного процесу.

Розв’язання. Знайдемо дисперсію процесу : .

Відповідно до задачі 13 спектральна щільність випадкового процесу буде рівна

Запишемо задане в умові диференціальне рівняння в операторній формі: .

Передаточна функція даної системи матиме вигляд .

Частотна характеристика відповідно буде рівна

.

.

.

Розклавши підінтегральну функцію на прості доданки отримаємо

Вправи

1. Задано функцію розподілу випадкової величини

.

Знайти

а) щільність розподілу;

б) математичне сподівання;

в) дисперсію;

г) середнє квадратичне відхилення;

д) ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал .

2. Задано функцію розподілу двовимірної випадкової величини .

.

Знайти

а) щільність розподілу випадкової величини ;

б) функції розподілу компонент та ;

в) щільність розподілу компонент та ;

г) математичне сподівання компонент та ;

д) коваріацію та коефіцієнт кореляції випадкових величин та ;

е) ймовірність того, що випадкова величина потрапить усередину трикутника з вершинами в точках , , .

3. Випадкова величина має нормальний розподіл з математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням . Знайти ймовірність того, що випадкова величина потрапить у інтервал (4,7).

4. Знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та записати функцію розподілу дискретної випадкової величини

	-1	0	1	3
	0.2	0.2	0.3	0.3

5. Студент приходить здавати іспит вивчивши 20 білетів із можливих 25. Знайти ймовірність того, що студент витягне “щасливий” білет, якщо він підходить здавати а) першим у групі; б) другим; в) третім.

6. Знайти математичне сподівання, кореляційну функцію та дисперсію випадкового процесу , де − випадкова величина з математичним сподіванням та дисперсією .

7. Знайти математичне сподівання, кореляційну функцію та дисперсію випадкового процесу , де − випадкова величина з математичним сподіванням та дисперсією , − випадкова величина з математичним сподіванням та дисперсією , коваріація випадкових величин та рівна 1.

8. Довести, що взаємна кореляційна двох випадкових процесів та дорівнює взаємній кореляційній функції відповідних центрованих процесів та .

9. Нехай − випадкова величина з математичним сподіванням та дисперсією . Знайти взаємну кореляційну функцію випадкових процесів та .

10. Задано математичне сподівання та кореляційну функцію випадкового процесу Знайти математичне сподівання, кореляційну функцію та дисперсію випадкового процесу .

11. Частинка здійснює випадкове блукання по цілочисельних точках числової осі, рухаючись з ймовірністю ліворуч та з ймовірністю праворуч, з ймовірністю залишається на місці. Знайти ймовірність того, що

а) за два кроки точка віддалиться не більше ніж на одиницю від початкового положення;

б) за чотири кроки точка буде у початковому положенні;

в) перші три кроки точка рухатиметься в одному напрямку;

12. Із найпростішим потоком, що має інтенсивність здійснюється операція “проріджування” : кожна подія (незалежно від інших) з ймовірністю залишається у потоці і з ймовірністю вилучається з нього. Довести, що отриманий “проріджений” потік буде найпростішим.

13. Потік товарних потягів, що проходять через залізничну станцію “Львів-товарний” є пуассонівським з інтенсивнісю 24 потяги за 6 годин. Знайти ймовірність того, що за 30 хвилин через станцію пройде

а) рівно один потяг;

б) два потяги;

в) принаймні один потяг.

Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення кількості потягів, що пройдуть через станцію за згаданий період.

14. Потік машин, що йдуть по шоссе є пуассонівським з інтенсивністю (машини за хвилину). Турист виходить на шоссе, щоб зупинити першу ж машину. Знайти закон розподілу часу очікування , математичне сподівання , середнє квадратичне відхилення .

15. Потік автобусів, що йдуть через зупинку є регулярним з інтенсивністю 1 автобус за 4 хвилини. Пасажир підходить на шоссе, щоб сісти у перший ж автобус. Знайти закон розподілу часу очікування , математичне сподівання , середнє квадратичне відхилення .

16. Інтенсивність потоку подій рівна . Знайти математичне сподівання кількості подій, що відбудуться на проміжку часу .

17. Для однорідного ланцюга Маркова, що задається матрицею задано розподіл ймовірностей . Знайт и розподіли ймовірностей , та граничний розподіл ймовірностей.

18. Визначити чи є однорідний ланцюг Маркова, граф якого зображений на рис. 4 ергодичним. Знайти ймовірність того, що система, знаходячись в початковий момент у стані 1, у момент часу також буде знаходитись у цьому стані. Знайти ймовірність того, що за чотири переходи система побуває у всіх станах.

19. Для неоднорідного ланцюга Маркова, задано матрицю однокрокових переходів у момент часу та розподіл початкових ймовірностей . Знайти розподіли ймовірностей , , . Знайти ймовірність того, що система, яка у момент часу знаходиться в стані у момент часу буде знаходитися у стані .

20. Задано матрицю однокрокових перходів однорідного ланцюга Маркова. Нехай − ймовірність того, що в момент часу система знаходиться у стані , − ймовірність того, що в момент часу система знаходиться у стані . Для послідовностей та скласти систему рекурентних співвідношень та знайти її розв’язок, якщо відомо що в момент часу система знаходилась в стані .

21. У місті працюють три супермаркети , та , що конкурують між собою. Соціологічні дослідження, що проводилися щомісяця протягом року показали, що супермаркет щомісячно зберігав 75% відсотків своїх покупців, при цьому віддавши 10% супермаркету та 15 % супермаркету , супермаркет щомісячно зберігав 80% відсотків своїх покупців, при цьому віддавши 15% супермаркету та 5 % супермаркету , супермаркет щомісячно зберігав 85 % відсотків своїх покупців, при цьому віддавши 5% супермаркету та 10 % супермаркету . Побудувати матриці переходів покупців за один місяць та за два місяці.

22. Підкидається багаторазово гральний кубик. Скажемо, що система в момент часу перебуває в стані , якщо найбільша кількість очок, що випали за підкидань рівна . Записати матрицю однокрокових переходів та побудувати граф ланцюга Маркова даної системи.

23. Описати роботу системи масового обслуговування з відмовами, що має один канал, інтенсивність потоку заявок , інтенсивність потоку обслуговування . Знайти граничний стан системи.

24. Описати роботу системи масового обслуговування з відмовами, що має два канали, інтенсивність потоку заявок , інтенсивність потоку обслуговування . Знайти граничний стан системи, а також її ймовірнісні характеристики (ймовірність відмови, пропускну здатність, абсолютну пропускну здатність, середню кількість каналів, зайнятих обслуговуванням заявок).

25. Система масового обслуговування представляє собою телефонну станцію, котра може обслуговувати не більше трьох викликів одночасно. Виклик, що поступає на станцію в той момент коли всі канали зайняті отримує відмову і покидає систему. В середньому на станцію надходить 0.4 викликів за хвилину, обслуговуваня одного виклику в середньому триває 45 секунд. Вважаючи режим роботи телефонної станції стаціонарним знайти

а) ймовірності станів системи;

б) абсолютну пропускну здатність;

в) відносну пропускну здатність;

г) ймовірність відмови;

д) середнє число зайнятих каналів.

26. Заправочна станція містить один автомат для заправки автомобілів та площадку, що може вмістити дві автомашини для очікування. Якщо машина прибуває на автостанцію, а там уже є дві автомобілі, то вона проїзжає повз автостанцію. В середньому на станцію прибуває два автомобілі за хвилину, на заправку однієї машини затрачається в середньому півтора хвилини. Вважаючи режим роботи автостанції пуассонівським, знайти

а) ймовірності станів системи;

б) абсолютну пропускну здатність;

в) відносну пропускну здатність;

г) ймовірність відмови;

д) середнє число зайнятих каналів.

27. Працівник облуговує три однотипних станка. В середньому один станок зупиняється раз на чотири тодини. Час обслуговування одного станка − 5 хвилин. Вважаючи режим функціонування системи стаціонарним знайти а) ймовірність зайнятості працівника; б) середню кількість зайнятих каналів; в) середню втрату ефективності роботи відділу через простоювання станків

28. Довести, що похідна від стаціонарного випадкового процесу є також стаціонарним випадковим процесом.

29. Довести, що добуток двох стаціонарних, центрованих некорельованих випадкових процесів є стаціонарним випадковим процесом.

30. Знайти спектральну щільність випадкового процесу, якщо його кореляційна функція рівна при і при .

31. Знайти спектральну щільність випадкового процесу, якщо його кореляційна функція рівна (для обчислень скористатись формулою , де ).

32. Знайти кореляційну функцію випадкового процесу спектральна щільністья якого рівна

33. На виході лінійної динамічної системи, передаточна функція якої рівна отримується стаціонарний випадковий процес з математичним сподіванням рівним 6. Знайти математичне сподівання вхідного стаціонарного випадкового процесу.

34. На вхід лінійної динамічної системи, що задається рівнянням подається стаціонарна функція зі спектральною щільністю Знайти спектральну щільність та дисперсію випадкового процесу .

35. Часом кореляції стаціонарного випадкового процесу називається величина , де − нормована кореляціна функція випадкового процесу . Знайти час кореляції випадкового процесу з кореляційною функцією