2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Приведем основные формулы, которые используются в приближенных вычислениях с помощью дифференциала.

Если функция дифференцируема в точке х₀, то её приращение , где - производная функции в точке х₀, ∆х – приращение аргумента, - бесконечно малая величина более высокого порядка чем ∆х .

Отсюда следует приближенное равенство или .

Следовательно, справедливо приближенное равенство

. (2.1)

Данное равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Пример 1. Вычислить приближенно Cos 91^°.

Решение

Рассмотрим функцию , найдем .

Согласно равенству (2.1), .

Учитывая, что , возьмем

и .

Тогда имеем конечный результат: .

Пример 2. Вычислить приближенно .

Решение

Рассмотрим функцию , найдем .

Согласно равенству (2.1), . За х₀ возьмем е, за ∆х – (-0,1), тогда

.

Пример 3. В результате наблюдений было установлено, что размер вклада клиента Сидорова в банке изменяется по закону , где х – время в месяцах. Найти приблизительно размер вклада через 3,008 месяца.

Решение

Воспользуемся приближенной формулой

,

где Т – вклад; х₀ = 3; ∆х = 0,008; ; .

Тогда размер вклада примерно равен:

.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке Х.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках, входящих в отрезок, а также на концах заданного отрезка и выбрать из них наибольшее f_наиб = М и наименьшее f_наим = m.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;2].

Решение

1. .

2. , откуда критические точки х₁ = 1; х₂ = -1.

3. Критическая точка х₂ = -1 не принадлежит [0;2]. Значения функции в критических точках и на концах отрезка , и .

Итак, .

Для решения текстовой задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции следует исходя из её условия: выбрать независимую переменную, установить границы ее изменения (промежуток изменения) и выразить исследуемую величину через эту переменную как функцию. Затем проводится исследование этой функции на экстремум и по известному правилу находится наибольшее (наименьшее) значение. Результат анализируется на основании данных задачи.

Пример 2. Капитал в 1 млрд руб. может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения в производство ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала под проценты в банке?

Решение. Пусть х (млрд руб.) инвестируется в производство, тогда - размещаются под проценты в банк. Размещенный капитал через год станет равным , а капитал, вложенный в производство, - . Издержки составят , где .

Тогда прирост денежной массы от вложения в производство . Так как налог на прирост равен , то прибыль от вложения в производство .

Общая сумма прибыли через год определяется функцией

.

Найдем максимальное значение этой функции на отрезке [0;1].

Вычислим производную:

х.

Приравняем ее к нулю и найдем значение х:

при .

Так как , то х₀ – точка максимума.

Теперь найдем значение р, если . Решив неравенство , получим р<25.

Таким образом, если р>25, то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. Если р<25, то прибыль А больше, если деньги будут инвестированы в производство.

Пример 3. По прямой АВ (см. рис.4) проходит железнодорожный путь. В стороне на расстоянии s от пути находится пункт С, из которого следует перевести груз в пункт А. Предположим, что из пункта С можно добраться по прямой до произвольной точки железной дороги.

Рис. 4

По какой трассе следует перевезти груз из пункта С до железной дороги, а затем по железной дороге до пункта А, чтобы транспортные расходы были минимальными, если известно, что издержки по перевозке 1 тонны груза автотранспортом в 3 раза выше, чем издержки при перевозке по железной дороге на такое же расстояние, а также если транспортные расходы пропорциональны расстоянию? Вычислить минимальные транспортные издержки по полученной трассе.

Решение

Проведем [CB] [BA]. Пусть |ВА| = r. Предположим, что мы перевозим груз автотранспортом от С до М – какого-либо пункта на железной дороге. Введем обозначение |ВМ| = х.

Если груз необходимо перевезти по железной дороге на расстояние r от пункта В, то путь по железной дороге составит r-x. Так как , транспортные расходы составляют:

, .

Найдем, при каком значении х транспортные расходы будут минимальными. Для этого найдем наименьшее значение полученной выше функции на отрезке [0;r].

.

, откуда критические точки , но из этих точек лишь , поэтому экстремум функции может быть только при .

; ,

т.е. при функция транспортных расходов имеет минимум. Найдем его .

Следовательно, транспортные расходы минимальны, если груз перевозят на автотранспорте до пункта М, расположенного на расстоянии от пункта В.