Гранична форма

Умова радикальної ознаки рівносильно наступному:

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатнього ряду у граничній формі:

Якщо для ряду , то якщо l < 1 ряд збігається, якщо l > 1 ряд розбігається.

Теорема Лейбніца  - теорема, що дає достатні умови збіжності ряду в якому знаки біля послідовних елементів чергуються.

Нехай для послідовності дійсних чисел виконуються умови:

1. 0 < a_{i + 1} < a_i;

2. 

Тоді знакозмінний ряд: збігається.

Розбіжність рядів

Ряди

є розбіжними згідно з теоремою 1. Дійсно, , у випадку ряду теореми 1 та у випадку ряду теореми 2

4.2 Степеневі ряди

Степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

де a_n — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Ряд Фур'є:

Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду

Якщо ряд збігається, то його сума дорівнює періодичній функції з періодом , оскільки та є періодичними з періодом .

Сталі числа називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду:

4.3 Функціональні ряди

Ряд називається функціональним.