4.5 Механічний зміст інтегралу.

Якщо функція v=f(x) визначає миттєву швидкість руху тіла в кожний момент часу t на [a,b], то визначений інтеграл дорівнює шляхові, пройденному за відрізок часу t=b-a.

№ пп	Величини	Співвідношення	Знаходження похідної	Знаходження інтеграла
1	S – переміщення v -- швидкість
2	A - робота F - сила
3	A - робота N - потужність
4	m– маса тонкого стержня - лінійна густина
5	q– електричний заряд I – сила струму
6	Q – кількість теплоти c- теплоємність

4.6 Об’єм тіла обертання.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції і аАВв, обмеженою неперервною кривою , де , віссю Ох і відрізками прямих і (рис ) обчислюється за формулою: .

4.7 Робота сили.

Якщо змінна сила діє в напрямі осі Ох, то робота сили на відрізку [а,в]

4.8 Сила тиску рідини

Сила тиску р рідини з густиною ρ на вертикальну платівку, занурену в рідину, обчислюється за формулою , де - прискорення вільного падіння, - площа платівки, а висота платівки змінюється від а до в.

4.9 Довжина дуги кривої

Крива

Числові та функціональні ряди

4.1 Числові ряди

Числовий ряд — ряд, елементами якого є числа.

Нехай — деяка числова послідовність. Для кожного визначена скінченна сума

Дві числові послідовності та називаються числовим рядом і позначаються

Число називається n-тим членом, а число — n-тою частковою сумою ряду.

Якщо послідовність часткових сум збігається до деякого числа (див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число — називається сумою цього ряду, і позначається

.

Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.

Гармонічний ряд має вигляд

Таким чином, , . Оскільки послідовність зростає та не має границі, то , . Проте зростання S із зростанням n відбувається дуже повільно. Л. Ейлер підрахував, що . Варто також звернути увагу, що члени гармонійного ряду прямують до нуля при , тобто необхідна умова збіжності виконується.

Геометричний ряд для має вигляд

.

Його часткова сума

для .

Якщо | x | < 1 то , . Тобто, при | x | < 1 ряд збігається до суми :

Збіжність рядів:

Теорема 1. Якщо числовий ряд

збігається, то ,

Доведення. Дійсно, оскільки a_n = S_n − S_{n − 1}, та , , то , .

Теорема 2. Якщо числовий ряд

збігається, то

,

Доведення. Розглянемо , .

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів:

Якщо для числового ряда існує таке число q, 0 < q < 1, що починаючи з деякого номера виконується нерівність то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера то ряд розбігається.

Зокрема, якщо існує границя

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо ρ < 1, а якщо ρ > 1 — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі).

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряда:

Якщо для числового ряда з невід'ємними членами існує таке число d, 0 < d < 1, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність то даний ряд збігається.