Інтегрування функцій, раціональних відносно

Універсальна підстановка: . Заміна

зводяться до =

Підстановка tg x=t

4.3 Поняття визначеного інтегралу.

Геометричний зміст визначеного інтегралу.

Визначений інтеграл чисельно дорівнює площі S криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції у = f(x), віссю абсцис та прямими х = а, х = в, тобто S =  .

Основні властивості визначеного інтегралу.

Всі властивості сформульовані в уявленні, що підінтегральні функції інтегровані в відповідних проміжках.

1. Визначений інтеграл з однаковими границями дорівнює 0: .

2. При перестановці границь інтегрування знак інтегралу змінюється на протилежний: .

3. Відрізок інтегрування можна розбити на частини.

де а < с < b.

4. Постійний множник можна виносити за знак інтегралу:

5. Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від усіх додатків.

.

6. Якщо ∃ невласний з безкінченою верхньою межею.

Позначаеться:

Якщо ця межа:

• Існує, то інтеграл існує, інтеграл називається таким, що сходиться

• не існує, або = , називається таким, що розходиться

Методи обчислення визначеного інтегралу.

Для обчислення визначеного інтегралу, коли можна знайти відповідний невизначений інтеграл, існує формула Ньютона-Лейбніца:

,

тобто, визначений інтеграл дорівнює різниці значень будь-якої первісної функції з нижньою та верхньою границями інтегрування.

З цієї формули видно порядок обчислення визначеного інтегралу:

1. Знайти невизначений інтеграл від даної функції,

2. В одержану первісну функцію підставити замість аргументу спочатку верхню, потім нижню границі інтегрування, від результату підстановки верхньої границі відняти результат.

Метод невизначених коефіцієнтів.

Нехай - правильних раціональний дріб, а його

знаменник після розкладу на множники має виглядде дійсні числа, а квадратичні множники не мають дійсних корені

Тоді дріб - може бути представлений у вигляді суми простих дробів. В цій сумі кожному множнику вигляду в знаменнику , де -будь-який з дійсних коренів, а його кратність відповідає вигляду , а кожному множнику знаменника – виразу вигляду , де r – дійсні числа.

4.4 Тригонометрична підстановка

Знайдемо інтеграл

Згідно з поданими формулами матимемо

Підстановка виду називається універсальною тригонометричною підстановкою; вона дає змогу проінтегрувати довільну функцію вигляду .

Деякі інші підстановки

На практиці універсальна тригонометрична підстановка може привести до громіздких раціональних функцій. Тому іноді зручно використовувати деякі інші підстановки, які випливають із властивостей підінтегральної функції . Наведемо приклад застосування таких правил:

Якщо є непарною функцією щодо , тобто , то підстановкою інтеграл водиться до інтеграла від раціональної функції

Якщо є непарною функцією щодо , тобто , то інтеграл раціоналізується підстановкою .

Якщо функція задовольняє умову , то підстановкою (або ) інтеграл зводиться до інтеграла від раціональної функції .