3.11 Розв’язування задач на максимум і мінімум. Алгоритм.

1. Ввести позначення для невідомих в задачі. Виразити інші величини через введені невідомі.

2. Скласти рівняння цільової функції, тобто тієї функції , максимум чи мінімум якої досягається в задачі.

3. Дослідити цільову функцію на екстремум :

   1. Знайти першу похідну цільової функції .

   2. Знайти критичні значення невідомої при умові, що перша похідна цільової функції дорівнює 0.

   3. Знайти другу похідну цільової функції.

   4. Знайти знак другої похідної при критичних значеннях невідомої.

   5. Висновок.

Якщо друга похідна при даному значенні невідомої більше 0 (y''(x₀)>0) , то х₀ – значення невідомої , при якому функція досягає найменшого значення.

Якщо y''(x₀)<0, то х₀ – значення невідомої, при якому функція досягає найбільшого значення.

Замітимо, що в залежності від змісту задачі, цільову функцію позначаємо відповідним символом: наприклад, об’єм тіла позначаємо символом V, швидкість – v, відстань – S, тиск рідини – P, силу – F, тощо.

Елементи інтегрального числення.

4.1 Первісна. Невизначений інтеграл.

Функція F (x) називається первісною для функції f (x) на даному проміжку, якщо для будь_якого x із цього проміжку F′ (x) = f (x).

Таблиця невизначених інтегралів.

a

  

a

  

Властивості невизначеного інтегралу:

1).Постійний множник можна виносити за знак інтегралу

2)Спосіб підстановки

а) додавання постійної змінної під диференціал

під знак диференціалу можна ввести будь-яке постійне число

б)введення під диференціал постійного множника

Так, як

3)Загальний випадок

Інтеграл від дробу, в якому числівник є похідною від знаменника, дорівнює логарифму знаменника.

Взагалі:

Інтеграл виду

Якщо тричлен не має дійсних коренів,якщо , тобто має мнимі корені.

Такий інтеграл легко порахувати в таких випадках:

1. Якщо Ax+B є похідною від знаменника

2. Числівник підінтегрального дробу не залежить від x, тобто А=0

3. Загальний випадок: інтеграл приводиться до а) і b) якщо числівник розділити,( можливо з залишком) на похідну 2x+p знаменника

Інтеграли виду: рахується легко, якщо:

1. Якщо є похідною від підкорінного тричлена

2. Числівник підінтегрального дробу не залежить від х, тобото А=0

3. Загальний випадок:числівник Ax+B поділити на похідну знаменника 2x+b підкорінного тричлена і виділити цілу частину/

Інтегрування методом підстановки.

Для інтегрування методом підстановки можна використати таку схему:

1. Певну частину підінтегральної функції треба замінити новою змінною,

2. Знайти диференціал від обох частин зміни,

3. Весь підінтегральний вираз виразити через нову змінну (після чого одержимо табличний інтеграл),

4. Знайти одержаний табличний інтеграл,

5. Виконати обернену заміну.

4.2 Інтегрування частинами.

При обчисленні цим методом можна дати деякі рекомендації:

При обчисленні інтегралів виду , де Р(х) – многочлен, за функцію “u” приймають відповідно lnx, arcsinx, arct При обчисленні інтегралів виду за функцію “u” приймають многочлен Р(х). Якщо многочлен Р(х) вище першого степеня, то операцію інтегрування слід застосувати кілька разів При обчисленні інтегралів виду , формула інтегрування частинами застосовується послідовно кілька разів, причому обидва рази за функцію “u” приймають або показникову функцію, або тригонометричну. Після двократного інтегрування частинами одержуємо лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу.