3.6 Диференціал функції однієї змінної

Диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x – змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов’язаний з dx формулою:

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.

Випадок однієї змінної

Нехай в околі точки x₀ задана функція .

нехай існує таке A, що f(x) − f(x₀) = A(x − x₀) + o(x − x₀) при .

Позначим x − x₀ = dx.

Тоді функція df = Adx називається диференціалом функції f(x) в точці x₀.

Випадок багатьох змінних

Нехай в околі точки задана функція багатьох змінних .

Нехай існує такий вектор , що при , де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначим .

Тоді функція називатиметься диференціалом функції в точці .

3.7 Формула Тейлора

Нехай функція f(x) визначена в околі точці х_0, має похідні до (n-1)-го порядку та існує , тоді .

Ця тотожність називається формулою Тейлора, а R_n(x) - її остаточним членом. Многочлен називається многочленом Тейлора функції f(x) в точці х_0.

Якщо х₀=0, тоді формула Тейлора називається формулою Маклорена і має вигляд: .

3.8 Теорема Лопіталя

При знаходженні границі відношення може статися таке, що при чисельник і знаменник дробу одночасно спрямують до нуля або до нескінченності, що означає що вони є одночасно нескінченно малі або нескінченно великі. Говорять, що в цих випадках ми маємо діло з «невизначеностями» виду або .

Обчислення границі в цьому випадку називається «розкриттям невизначеності» і виконується за правилом Лопіталя. Це французький математик Гільом Лопіталь (1664-1704 року народження).

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) такі, що:

1) і або і ;

2) вони мають перші похідні у деякому околі точці х=а

(за винятком можливо самої точки а);

3) існує кінцева або некінцева границя ;

тоді існує і границя та має місце така рівність .

Суть цього правила в тому, що обчислення границі відношення функцій замінюється обчисленням відношення їх похідних, що в більшості є проще. Інколи дослідження відношень других похідних замінюють дослідженням відношенням третіх похідних. Доцільно спочатку зробити спрощення відношень перших похідних, а потім вже диференціювати окремо чисельник і окремо знаменник.

3.9 Теорема Ферма

Теорема Ферма — необхідна умова екстремуму.

Нехай дійсна функція f визначена в околі деякої точки x₀ і має в цій точці похідну. Тоді якщо в цій точці f має екстремум то .

Геометрично це означає, що дотична до графіка функції f в точці горизонтальна.

3.10 Дослідження функції за допомогою похідних

1. Знайти область визначення функції та прямі асимптоти

2. Перевірити функцію на парність, або непарність

3. Знайти точки перетину з осями координат

4. Знайти I похідну та ії область визначення

5. Знайти критичні точки I похідної та знак функції на інтервалах між ними

6. Знайти точки і , якщо вони є

7. Знайти II похідну і точки перегину функції(тобто точки, в яких II похідна = 0)

8. Знайти критичні точки II роду та знак II похідної на цих інтервала

9. Знайти наклонні асимптоти

10. Побудувати графік, якщо це потрібно