3.2. Достатня ознака екстремуму функції.

Якщо х₀ – критична точка і при переході через х₀ похідна змінює знак з „+” на „-”, то х₀ – точка максимуму.

Якщо х₀ – критична точка і при переході через х₀ похідна змінює знак з „-” на „+”, то х₀ – точка мінімуму.

Друга достатня умова існування екстремуму функції.

Для дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної слід:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти першу похідну функції і критичні (стаціонарні) точки , тобто точки , в яких вона обертається в 0.

3. Знайти другу похідну функції.

4. Обчислити значення другої похідної в кожній з критичних точок (вірніше знак другої похідної).

5. Висновок: якщо y''( x₀)>0, то х= x₀ – точка мінімуму , якщо y''(x₀)<0, то х= x₀ – точка максимуму . Знайти екстремуми функції.

3.3. Застосування похідної до дослідження функцій

Для дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної слід :

1. Знайти область визначення функції.

1. Знайти першу похідну функції і критичні точки Ι-роду при умові y'=0, або у' не існує.

2. Відмітити границі області визначення і критичні точки Ι-роду на числовій прямій.

3. Дослідити знак похідної в кожному з одержаних інтервалів .

4. Виписати точки екстремуму і обчислити екстремуми функції.

Найбільше та найменше значення функції, неперервної на відрізку.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку та має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значень на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Опуклість та увігнутість кривої.

Якщо крива розташована нижче будь-якої своєї дотичної, тоді крива опукла на (a,b).

Достатня ознака: <0 на (a,b).

Якщо крива розташована вище будь-якої своєї дотичної, тоді крива увігнута на(a,b).

Достатня ознака: >0 на (a,b).

Якщо в точці (x₀;f(x₀)) існує дотична; при переході через цю точку опуклість змінюється на увігнутість

(або навпаки), тоді точка (x₀;f(x₀)) – точка перегину.

Достатня ознака точки перегину: в точці (x₀;f(x₀)) існує дотична, (або не існує) і при переході через точку х₀ змінює знак, тоді (x₀;f(x₀)) – точка перегину.

3.4 Похідна неявної функції

Неявна функція — математична функція, задана за допомогою рівняння.Для функції від аргументу таке рівняння записується в загальній формі

, де - функція від двох аргументів, на відміну від явного задання функції: .

Прикладом неявної функції може служити рівняння кола:

, де — радіус кола.

3.5 Частинні похідні  порядку

Часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи.

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

f(x,y) = x² + xy + y².

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію f_a, залежну тільки від y: a² + ay + y²:

f_a(y) = a² + ay + y².

В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже f_a - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента:

f_a'(y) = a + 2y.

Наведену процедуру можна здійснити для довілього вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.