2.2 Точки розриву функції.

Точка называється точкою розриву функції, якщо вона визначена на деякому інтервалі, для якого є внутрішньою точкою, але в самій точці можливо не визначена та виконується хоч би одна з умов:

1) не існує границі ліворуч ,

2) не існує границі праворуч .

Тоді це точка розриву ІІ роду.

3) Границі праворуч та ліворуч існують, але не рівні один одному.

4) Границі праворуч та ліворуч існують та рівні один одному, але не співпадають зі значенням функції в точці, або функція не визначена в точці.

Тоді це точка точка розриву І роду.

2.3 Основні теореми про границі функцій.

1.

х→а

х→а

х→а

lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x)

2.

х→а

х→а

х→а

lim [f(x) *φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x)

3.

х→а

х→а

lim С*f(x) = С *lim f(x)

4.

х→а

х→а

х→а

lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0.

Методи обчислення границь функцій:

1. ; ; ; ;

.

2. Якщо треба знайти границю відношення цілих многочленів при можна поділити оба члена на , де n- найбільша ступінь ціх многочленів.

3. Якщо при підстановки х=а отримали вираз , тоді треба розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити дріб.

4. Якщо треба знайти границю від ірраціонального виразу, то треба чисельник і знаменник дробу домножити на вираз спряжений чисельнику або знаменнику.

Використання границь для знаходження асимптот функцій:

Вертикальні асимптоти можуть бути тільки в граничних точках інтервалів неперервності функції, зокрема в точках розриву.

Похили асимптоти задаються рівняннями y = kx+b, де коефіцієнти k і b рівні наступним границям:

; .

2.4. Дії над наближеними значеннями.

На практиці, визначаючи числові значення величин, знаходимо їх наближені значення.

Число х є наближеним значенням, якщо а – число, близьке до дійсного значення х даної величини, і пишуть .

Абсолютною погрішністю називається модуль різниці точного і наближеного значень: .

Будь-яке додатне число, яке більше або рівно абсолютній погрішності, називається межею абсолютної погрішності:

Відношення абсолютної погрішності наближення до модуля наближеного значення величини називається відносною погрішністю наближення: .

Складання і віднімання наближених значень.

Якщо те , де .

Множення і ділення наближених значень.

Значущими цифрами называються всі вірні цифри в записі наближеного значення, окрім нулів, що стоять перед першою відмінною від нуля цифрою.

У добутку і часному наближених значень залишають стільки цифр, не рахуючи нулів, що стоять попереду, скільки значущих цифр має наближене значення з меншим числом значущих цифр.

Обчислення із строгим обліком погрішностей.

Межа абсолютної погрішності суми і різниці рівна сумі меж абсолютних погрішностей доданків, відповідно, зменшуваного і такого, що віднімається.

Межа відносної погрішності добутку і часного рівна сумі меж відносних погрішностей співмножників, відповідно, ділимого і дільника.

Поняття неперервної функції. Приріст аргументна. Приріст функції.

Нехай функція визначена на проміжку і точка є внутрішньою точкою цього проміжку. Функція називається неперервною в точці , якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в точці . Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку . Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку — і x. Назвемо різницю приростом аргументу, а число — приростом функції у точці . Можна сформулювати таке означення неперервності функції в точці : Функція називається неперервною в точці , якщо . Якщо функція неперервна в кожній точці проміжку , то вона називається неперервною на цьому проміжку.