4. Любую размерную функцию размерных величин можно представить в виде произведения размерного степенного комплекса, составленного из этих величин, и безразмерной функции этих же величин.
Если функция (7) является размерной, то её размерность [F]≠1 определяется размерностью (9) величин x1,…, xN. Поэтому существует размерный степенной комплекс
K1=xα1 xβ2 …xωN (14)
с размерностью [k]=[F]. умножив и разделив правую часть выражения (7) на k≠0, получим
F=F(x1,…,xN)=k φ(x1,…,xN), (15)
где φ(x1,…,xN)=k-1 F(x1,…,xN), причем [φ]=1
(Пример 2.6)
При образовании степенных комплексов, особенно безразмерных, может встретиться затруднение, связанное с необходимостью деления на размерную величину, обращающуюся в нуль, что недопустимо. Это затруднение принципиально можно всегда устранить, выразив эту величину, например xi, в относительных единицах, т.е. представив в виде xi= xiб = xi0, причем xiб – некоторое постоянное базовое значение величины xi, xiб≠0, [xiб]=[ xi], [xi0]=1. При этом деление на xi заменяется делением на xiб≠0, но вместо одной величины xi надо принимать во внимание две xiб, xi0.
2.3. Подобие степенных комплексов
Два сходственных степенных комплекса
y1=a1
,
y2=a2
(16)
подобны, если
my=y1/y2; mxi=xi1/xi2 (17)
В простейшем случае
y1=a1x12 (18)
y2=a2x22 (19)
my=y1/y2; mx=x1/x2 (20)
После ввода масштабов соотношения между y1, y2, x1, x2 определяется уже не двумя уравнениями с (18), (19), а четырьмя (18)-(20). Совершенно очевидно, что при этом дополнительные соотношения (20) должны быть такими, чтобы система уравнений (18)-(20) не оказалась противоречивой. Это условие является необходимым для подобия функции (18) и (19).
При условии непротиворечивости системы (18)-(20) можно:
задавшись значением x1, определить y1 двумя путями, как это показано на рис. 2.3,а;
задавшись значением x2, определить y2 двумя путями согласно схеме на рис. 2.3,б.
В первом случае, действуя прямым путем, по заданному x1 рассчитывают y1 согласно (18), а действую окольными путем, находят последовательно x2=x1/mx, y2=a2(x1/mx)2 и наконец
y1=myy2=mya2(x1/mx)2 (21)
Система (18)-(20) непротиворечива, если выражения (18) и (20) тождественны:
a1x12= mya2(x1/mx)2
Условие непротиворечивости имеет вид
a2my/a1mx2=1 (22)
Во втором случае, действуя прямым путем, по заданному X2 рассматривают y2 согласно (19), а действуя окольным путем, находят последовательно x1=mxx2, y1=a1(mxx2)2, и наконец,
y2=
=
(23)
Система (18)-(20) непротиворечива, если выражения (19) и (23) тождественны:
a2x2=a1(mxx2)2/my
Условие противоречивости имеет вид:
a1mx2/ a2my=1, (24)
равносильный (22).
Таким образом, при отсутствии противоречивости системы (18)-(20) благодаря масштабам можно преобразовать уравнение (18) в (19) и наоборот. В процессе преобразования устанавливается условие непротиворечивости (24) в виде безразмерного степного комплекса, численное значение которого должно равняться единице.
В
теории моделирования безразмерные
степенные комплексы принято обозначать
греческими буквами П,
.
К безразмерному виду, аналогичному
(24), можно привести и сходственные
уравнения (18), (19).
П1=a1x12/y1=1 (25)
П2=a2x22/y2=1 (26)
Условие противоречивости (24) вытекает из весьма простого соотношения:
П1/ П2=1
Безразмерные степенные комплексы П1, П2 называют критериями подобия сходственных функций (18), (19).