1. Введение в математический анализ. Числовая последовательность.

Числовая последовательность – Функция вида , заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначается в виде {x_n}, . Число x₁ называется первым членом (элементом) последовательности, x_n – общим или n-м членом последовательности.

Задается либо формулой общего члена, либо рекуррентной формулой.

Формула общего члена позволяет вычислить любой член последовательности по номеру n (при помощи этой формулы можно сразу вычислить любой член последовательности).

Пример:

Рекуррентная формула определяет правило, по которому можно найти n-ый член последовательности, зная первый и (n-1)-ый члены (при таком способе для нахождения 100-го члена последовательности придётся сначала посчитать 99 предыдущих).

2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Числовая последовательность – Функция вида , заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначается в виде {x_n}, . Число x₁ называется первым членом (элементом) последовательности, x_n – общим или n-м членом последовательности.

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство . (если , то последовательность - неограниченная).

3. Монотонные последовательности.

Числовая последовательность – Функция вида , заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначается в виде {x_n}, . Число x₁ называется первым членом (элементом) последовательности, x_n – общим или n-м членом последовательности.

Последовательность {x_n} называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство . (если , то последовательность - убывающая). Если все элементы последовательности {x_n} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Возрастающие, убывающие и постоянные последовательности – монотонные.

4. Число е.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Рассмотрим последовательность .

По формуле бинома Ньютона:

Пусть , тогда:

- возрастающая последовательность, причём . Заменим в правой части скобки на 1, а факториалы на степени двойки. По формуле суммы членов прогрессии найдём, что:

Последовательность ограничена, при этом для выполняется неравенство: , следовательно на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемей буквой е.

.

Число е называется неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045…). Число е принято за основание натуральных логарифмов ( )

5. Связь натурального и десятичного логарифмов.

За основание натуральных логарифмов принято число е, десятичных – 10. ( , )

По определению логарифма имеем . Прологарифмируем по основанию 10.

Пользуясь десятичными логарифмами, находим , значит , либо

6. Предел функции в точке.

Определение 1 (на “языке последовательностей”, или по Гейне). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящихся к числу (т.е. ), последовательность соответствующих значений , сходится к числу А (т.е. ).

Определение 2 (на “языке ”, или по Коши). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдётся такое положительное число , что при всех x, удовлетворяющих неравенству , выполнится неравенство .