Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
тер мех..doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
1.79 Mб
Скачать

Нахождение скорости при естественном способе задания движения.

При движении точки по траектории радиус-вектор будет меняться с изменением дуговой координаты, а сама дуговая координата является функцией времени, то есть радиус-вектор является сложной функцией времени r = r (s(t)). По формуле (1) выразим вектор скорости точки:

(14)

Рассмотрим вектор dr / ds. Согласно формуле (14), этот вектор направлен по касательной к траектории, так как скорость направлена по касательной, а так как п риΔs   0 предел отношения длины дуги |Δs| к длине ее хорды MM1 = Δr (рис. 61) равен единице, то по модулю он равен единице. Следовательно,

(15)

где   является единичным вектором касательной к траектории в точке M.

Вектор   всегда направлен в сторону возрастания дуговой координаты. На рис. 61 показан случай, когда Δs > 0 (дуговая координата точки больше координаты точки M1). Сам вектор Δ /Δs направлен в сторону вектора Δ , в сторону положительного отсчета дуги. Когда Δs < 0 , точка M1 будет находиться ближе к началу отсчета, чем точка M, вектор Δ  изменит направление, а вектор Δ /Δs будет направлен в сторону, противоположную Δ  (Δs - отрицательное), то есть, по-прежнему, в сторону возрастания дуговой координаты.

Подставляя выражение (15) в формулу (14), получаем

(16)

28. Скорость точки при векторном способе задания движения.

Пусть движение точки относительно тела отсчета задано ее радиус-вектором r(t). Т огда, по определению, скоростью точки будет векторная производная радиус-вектора r по скалярному аргументу - времени t:

(1)

На рис. 59 изображено как определяется скорость точки. За приращение времени Δt точка переместилась по траектории из положения M в положение M1, а радиус-вектор получил приращение Δr. Когда Δt 0, точка M1 M, а вектор Δr, направленный по хорде MM1, стремится занять положение касательной к траектории. Поэтому вектор скорости V будет направлен, согласно выражению (1), вдоль касательной к траектории в точке M в сторону движения точки.

По определению, вектор скорости является скоростью точки в данное мгновение времени или мгновенной скоростью. Средней скоростью за промежуток времени Δt называется отношение Δr/Δt. Размерность скорости - м/с (метр в секунду), внесистемными единицами скорости могут быть см/с (сантиметр в секунду), км/час (километр в час) и т.д.

Определение скорости при координатном способе задания движения.

Пусть движение точки задано в декартовой системе координат Oxyz, которую считаем неподвижной, и известны кинематические уравнения движения точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t). Используя равенство (5) в п. 26, по формуле (1) выражаем скорость точки:

Так как система координат Oxyz неподвижна, ее единичные векторы i,j,k постоянны (не меняют ни величину, ни направление), то слагаемые, содержащие производные этих векторов, равны нулю и

(9)


Проекциями вектора скорости на оси координат являются сомножители перед единичными векторами, следовательно,

Зная проекции скорости на оси координат, можно определить величину вектора скорости:

(10)

Направление вектора скорости определяется тремя направляющими косинусами:

(11)

Формула (9) позволяет не только определить скорость аналитически, но и построить вектор скорости геометрически. По этой формуле вектор скорости можно представить как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих:

(12)

где

(13)

Геометрически сложив составляющие, найдем вектор скорости. При построении составляющих по формулам (21) нужно учитывать: 1) если производная координаты положительна, то направление составляющей совпадает с направлением единичного вектора координатной оси; 2) если производная отрицательна, составляющая направлена в противоположную сторону.