Методи інтерполяції
Досить часто необхідно побудувати прогноз для значень показників якого-небудь ряду усередині періоду спостережень (на ретроспективному інтервалі). Наприклад, це характерно для даних із пропусками, коли деякі значення ряду відсутні (не проводилися виміри, дані за ці періоди не представлені в статистичних збірниках чи іншій звітності). При цьому, аналізуючи розташування точок часового ряду на площині, береться до уваги деяка нелінійна тенденція, що відбиває ділянки зростання і спаду значень показників. Для відносно невеликої кількості точок часового ряду (до 10) як таку тенденцію, що не має властивості суворої монотонності, може бути підібрана функція у вигляді полінома відповідного ступеня. Коефіцієнти для цих поліномів знаходяться за допомогою методу інтерполяції. Дані поліноми (їх називають інтерполяційними) можуть бути представлені в різних формах (у формі Ньютона, у формі Лагранжа і т. д.). Особливість інтерполяційного полінома полягає в тому, що значення часового ряду (так звані вузлові точки) точно лежать на поліноміальній кривій. Таким чином, відкидається припущення про можливі випадкові погрішності у вимірі значень часового ряду чи про дію на часовий ряд випадкових факторів. А це, як правило, не характерно для багатьох економічних процесів. Крім того, прогноз на основі інтерполяційного багаточлена на ретроспективній ділянці буде більш точний, ніж на перспективній, тобто за межами наявного часового інтервалу. Ця властивість пояснюється особливістю поліномів, які на кінцях інтервалів можуть показувати або сильне зростання, або спад. Для задачі прогнозування — інтерполяції — даний метод підходить краще, ніж для задачі екстраполяції. Хоча задачу екстраполяції можна вирішувати за допомогою цього методу, не віддаляючись особливо від границь ретроспективного інтервалу, тобто для одержання короткострокових прогнозів. Проте, незважаючи на ці недоліки, метод прогнозування на основі інтерполяційного полінома може бути використаний як перше наближення наявної залежності в інших, більш складних, методах і задачах.
Розглянемо сутність інтерполяції. Нехай на відрізку [а; b] задані (n+1) опорних вузлових точок а х0 х1 ... хn b ... Нехай, крім того, задані n + 1 дійсних чисел yj(j=0, ..., n), де yj - значення деякої функції f(х) у вузлових точках.
Завдання інтерполяції полягає в тому, щоб знайти такий багаточлен jn(х) ступеня не більше n, в якому jn(xj) = yj , j = 0,...,n.
Інтерполяція застосовується головним чином тоді, коли щодо функції f відомі тільки дискретні значення функції у =f(х). Щоб обчислити значення цієї функції в інших внутрішніх точках відрізка [а;b] (інтерполяція) чи за межами відрізка вузлових точок (екстраполяція), її наближають багаточленом jn(x), причому необхідне виконання умов
(1)
Багаточлен, що задовольняє співвідношенням, даним в умовах (2.1), існує тільки один. Його можна представити в різних формах.
Розглянемо інтерполяційний багаточлен Лагранжа. Його можна представити такою формулою:
(2)
Очевидно, що множники Lj(x) задовольняють рівностям Lj(xj) = 1 , Lj(xk) = 0 при k ? j. Отже, jn(xj) = yj .