3. Расчёт простой электрической цепи

Рассчитаем ток в простой цепи:

Для определения тока в цепи источника Е₁ спроектируем цепь, эквивалентную данной. Для этого воспользуемся формулами последовательного и параллельного соединения сопротивлений:

R_o=R1*R2/ (R1+R2) – при параллельном соединении сопротивлений

R_o=R1+R2 – при последовательном соединении сопротивлений

Сопротивление конденсатора:

Z=1/ (2π*j*f*C)

Рассчитаем комплексное сопротивление сопротивления и ёмкости в правой ветви:

Z1=R+Z

Далее рассчитаем комплексное сопротивление Z1 и параллельной им ёмкости:

Z2=Z1*Z/ (Z1+Z)

После рассчитаем комплексное сопротивление Z2 и подключённого последовательного к нему сопротивления:

Z3=Z2+R

После этого рассчитаем комплексное сопротивление Z3 и параллельной ему ёмкости:

Z4=Z3*Z/ (Z3+Z)

Далее рассчитаем комплексное сопротивление всех элементов цепи:

Z5=Z4+R

Все вычисления проводятся в программной среде Mathcad 14. Листинг программы:

Модель цепи, спроектированная в программной среде Electronic Workbench, приведена на следующей странице. Векторная диаграмма представлена в приложении 1

4. Составление системы уравнений для расчета токов и напряжений.

Сложная схема:

Для составления системы уравнений проведём контурные токи I1, I2 и I3 в контурах слева направо в направлениях по часовой стрелке. По второму закону Кирхгоффа получаем систему уравнений для левого контура:

I1(R+Z)-I2*Z=E1-E2

…для центрального контура:

-I1*Z+I2(R+2Z)-I3*Z=E2-E3

…для правого контура:

-I2*Z+I3(R+2Z) =E3+E4-E5

Так как эти уравнения составлены для одной схемы, то объединим их в систему:

I1(R+Z)-I2*Z=E1-E2

-I1*Z+I2(R+2Z)-I3*Z=E2-E3

-I2*Z+I3(R+2Z) =E3+E4-E5

5. Расчёт токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера.

По системе уравнений сопротивлений составляем матрицу сопротивлений Δ, потом строим ещё три матрицы Δ1, Δ2 и Δ3, в каждой из которых столбец, соответствующий номеру матрицы, заменяется правой частью системы уравнений. Токи в цепи рассчитываются методом Крамера:

I1= Δ1/ Δ

I2= Δ2/ Δ

I3= Δ3/ Δ

Все расчёты проводятся в программной среде Mathcad. Листинг программы:

6. Расчёт токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы.

Для расчёта токов в цепи методом обращения матрицы полученную ранее матрицу сопротивлений обращаем и умножаем на матрицу, составленную из действующих в каждом контуре источников. В результате получаем матрицу размерностью 3х1, в каждой строке которой указан ток в соответствующем контуре. Все вычисления проводятся в программной среде Mathcad. Листинг программы:

Расчёты, проведённые методами Крамера и обращения матрицы, сходятся. Их действительность проверяется проектированием сложной цепи в программной среде Electronic Workbench. Эта модель приведена на следующей странице.