Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:
Синус - это отношение противолежащего катета (катета который лежит против угла, синус которого необходимо найти), к гипотенузе данного треугольника.
Теорема косинусов
Косинус
- это отношение прилежащего катета
(катета который лежит при угле, косинус
которого необходимо найти), к гипотенузе
данного треугольника.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Котангенс острого угла в прямоугольном
треугольнике — отношение прилежащего
катета к противолежащему (или, что то
же самое, отношение косинуса к синусу):
Формулы площади треугольника
Произвольный треугольник
a, b, c — стороны; — угол между сторонами a и b;
—
полупериметр;
R — радиус описанной окружности;
r — радиус вписанной окружности;
S — площадь;
ha — высота, проведенная к стороне a.
S =
aha
S =
ab
sin
S = pr
-
если треугольник задан по стороне и
двум прилежащим к ней углам
-
если треугольник задан по стороне и
двум прилежащим к ней углам
- для прямоугольного равнобедренного
треугольника
П
рямоугольный
треугольник
a, b — катеты;
c — гипотенуза;
hc — высота, проведенная к стороне c.
S =
ab
S =
ch
Равносторонний треугольник
Теорема Фалеса
Две пары параллельных прямых, отсекающие на одной секущей равные отрезки, отсекают на любой другой секущей также равные отрезки.
Т
еорема
Чевы
Если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
То есть
Т еорема о разделительном отрезке в треугольнике
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.
То есть
С
войство
точки пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника:
Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность и только одну.
Свойство биссектрис в треугольнике
Теория 1
Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.
Т
о
есть
Теорема 2
Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.
С
войство
медиан в треугольнике.
Теорема 1
Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин.
То есть
Теорема 2
Каждая медиана, проведенная в треугольнике, делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями)
То есть
