Частные пр-ные и диффер-лы высших порядков

Частными пр-ными 2го порядка от ф-и z=f(x;y) наз-ся частные пр-ные от ее частных пр-ных 1го порядка. Обознач: f’’_xx(x;y)=∂²f/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x), f’’_yy(x;y)=∂²f/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y), f’’_xy(x;y)= ∂²z/∂x∂y=∂/∂y(∂z/∂x), f’’_yx(x;y)= ∂²z/∂y∂x=∂/∂x(∂z/∂y).Частная пр-ная высшего порядка,взятая по различ переменным наз-ся смешанной частной пр-ной (∂²z/∂x∂y) Т2.Смешанные частные пр-ные,отлич только порядком диффер-я = м/ду собой,если они непрерывны ∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x. Диффер-лом nго порядка наз-ся диффер-л от ее диффер-ла (n-1)го порядка dⁿz=d(d^n-1z).Т3.Если x и y-независ переем и ф-я z=f(x;y) имеет непрерывные частные пр-ные 2го порядка,то диффер-л 2го порядка дано ф-и вычисл по формуле ∂²z=∂²z/∂x²∂x²+2∂²z/∂x∂y*∂x∂y+∂²z/∂y²∂y².

Экстремум фнп

(.)(x₀;y₀) наз-ся точкой max(min) ф-и z=f(x;y) если сущ окрестность (.)(x₀;y₀),такая,что для всех точек (x;y) из этой окрестности вып-ся нер-во f(x₀;y₀)≥f(x;y) f (x₀;y₀)≤f(x;y). Т4.Необходимое условие экстремума.Пусть (.)(x₀;y₀) есть(.) экстремума диффер ф-и z=f(x;y) тогда ее частные пр-ные 1го порядка в этой точке=0.Точки в *ых все частные пр-ные 1го порядка ФНП =0 наз-ся стационарными.Т5.Достаточное условие экстремума.Пусть ф-я z=f(x;y) имеет нерерывные частные пр-ные 2го порядка в не*ой окрестности стацион (.)(x₀;y₀).Обозначим A=z’’_xx(x₀;y₀), B=z’’_xy(x₀;y₀), C= z’’_yy(x₀;y₀), ∆=AC-B.Тогда:1)если ∆>0,то ф-я имеет экстремум в (.)(x₀;y₀),а именно max если A<0,min если A>0 2)если ∆<0,то в (.)(x₀;y₀) экстремума нет 3)если ∆=0,то требуется дополн исслед-е(сомнит случай). Алгоритм исслед-я ф-ии на экстремум: 1)находим частные пр-ные 1го порядка z’_x, z’_y 2)находим стационар точки,решая систему ур-ий z’_x=0, z’_y=0 3)находим частные пр-ные 2го порядка,вычисляя их зн-я в каждой стацион точке и с помощью достат условия делаем вывод о наличии экстремумов 4)находим экстремумы.

Условный экстремум ф-ии

Условным экстремумом ф-и z=f(x;y) наз-ся экстремум этой ф-и,достигнутый при условии,что переменные x и y связаны м/ду собой ур-ем связи φ(x;y)=0 З.Отыскание условного экстремума ф-и z=f(x;y) при условии φ(x;y)=0 можно свести к исслед-ю на обычный экстремум вспом ф-и-ф-ии Лагранжа u(xyλ)=f(xy)+ λφ(xy) λ-неопред пост мн-ль.Т6.Необходимое условие условного экстремума.Точки экстремума ф-и z=f(x;y) при условии φ(x;y)=0 удовл системе ур-ий 1)∂u/∂x=∂f/∂x+λ∂u/∂x=0 2)∂u/∂y=∂f/∂y+λ∂u/∂y=0 3)φ(x;y)=0