Интегралы от неогранич.Ф-ций

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [а;в) и в (.)в имеет бесконечразрыв, т.е. , тогда несобственным интегралом от ф-ции f(x) на [a;b] наз-ся: .

При этом пишут: = .

Если к указ-ый предел сущ и конечен, то несобсв.интеграл наз-ся сходящимся, в противном случае –расходящимся. З. Если ф-ция f(x) имеет бесконечный разрыв на левом конце отрезка [a,b], то по опред-ю полагают: .

З.Если ф-ция f(x) имеет бесконечный разрыв в нек.внутр.(.)с отрезка [a,b], то полаг, . При этом считается сходящимся, если сходятся оба несобсв. интеграла правой чвсти равенства. В противном случае несобств.интеграл –расходящийся.

Функции неск-ких переменных

Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их знач ( x₁, x₂, x_3,…,x_n ) из нек-го мн-ва Х, поставлено в соотв-ии одно вполне опред знач-е переменной величины z, тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z=f(x₁, x₂, x_3,…,x_n ).

При этом переменные x₁, x₂, x_3,…,x_n - независ переем или аргументы Z – завис переем f – означ закон соотв-я мн-во Х наз-ся обл- опред- ф-ции и обознач D(z).Графиком ф-ции z=(x,y) наз-ся мн-во . Это мн-во предст собой не*ую пов-ть в трёхмерном пространстве.

Предел и непрерывностьф-ции 2х переменных

Окрестностью (.) на плоскости наз-ся любой круг с центром в данной (.)ке за исключ его границы (открытый круг)

Число А наз-ся пределом ф-ции z=(x,y) при или в (.) (х₀;у₀). Если для любого числа сущ число такое что верно нер-во при . При этом пишут . Ф-ция z=(x,y) наз-ся непрерывной в (.)(х₀;у₀), если:1)она отпред в (.)(х₀;у₀) 2)имеет конечный предел в точке (х₀;у₀) 3)этот предел = значению ф-ции в (.)(х₀;у₀), т.е.

Частные производные

Разности: ; наз-ся частными приращениями ф-ции z=f(x,y) в (.) (x,y) по переменной х и у соотв-но.Частной производной ф-ции z=f(x,y) по переменной х наз-ся предел отношения частного приращения ф-ции попеременной х приращению тогда последнее стремится к 0. При этом пишут: З,1. Частные производные также обознач символами

2. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы диффер-я.

3. При вычислении частной производной ф-ции неск.переменных по к-л одной переменной. Другие переменные считаются постоянными.

Дифференциал и экстремум фнп

Дифференциалом ф-и z=f(x;y) наз-ся сумма произведений частных пр-ных этой ф-и на приращения независ перем-ых. dz=∂z/∂x ∆x+∂z/∂y ∆y.З.Дифференциалы независ переем совпадают с их приращениями,т.о. dx=∆x,dy=∆y,поэтому диффер ф-и z=f(x;y) dz=∂z/∂x ∂x+∂z/∂y ∂y.Ф-я z=f(x;y) наз-ся диффер в (.)(x;y),если ее полное приращение ф-и в (.)(x;y) ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). М.б. предст в виде ∆z=dz+α∆x+β∆y,где dz-диффер ф-ии,α=α(∆x; ∆y),β=β(∆x; ∆y)-БМ ф-ии при ∆x, ∆y→0.Т1.Достат условие диффер-ти ф-и 2 перемен.Если ф-я z=f(x;y) имеет частные пр-ные в не*ой окрестности (.)(x;y),причем эти частные пр-ные непрерывны в самой (.)(x;y),то ф-я z=f(x;y)диффер-ма в этой (.).