Возрастание и убывание ф-ции

Т.(достаточное ус-е ф-ции). Если произ-я диффер ф-ции «+» («-«) внутри не*го промежутка, то ф-ция на этом промежутке, т.е.f(x) , если f^’(x)>0 внутри Х, f(x) , если f^’(x)<0 внутри Х Интервалы в *ых ф-ция - интервалы монотонности. Экстремум ф-ции Говорят, что ф-ция f(x) имеет в (.)х=а max(min), если в не*ой окрестности (.)а нер-во f(a)≥f(x). При этом тоска а – точка max(min). З. Экстремум ф-ции имеет локальный хар-р, т.е. это наиб или наим-шее знач-е ф-ции достаточно малой окрестности соотв (.).Тоски в *ых произ-я ф-ции = 0 либо ∞ либо вовсе не сущт наз-ся критическими точками 1го рода. Т(необх.усл-е экстремума). Ф-ция может иметь экстремум только в критич-х (.) 1го рода. Т(1 достаточ усл-е экстремума). Если при переходе через (.)Х₀ пр-ная меняет знак с «+» на «-«, то (.)Х₀ max, а если наоборот, то min.Т (2 достаточное усл-е экстремума). Пусть ф-ция дважды диффер в (.)а причём f^’(а)=0, если:1. f^’’(а)<0, то (.)а –max 2. f^’’(а)>0, то (.)а – min .Схема отыскания наиб и наим зн-я ф-и на [a;b]:1)f ‘(x) и все критич точки 1 рода для ф-и f(x) в (a;b) 2)вычисляем зн-я ф-и в критич точках 1 рода и на концах [a;b] 3)из всех знач выбираем наиб и наим.

Определенный интеграл Понятие опред интеграла

Пусть ф-я y=f(x) опред на [a;b].Выполним след действия:1)разобьем [a;b]точками a=x₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b на n частичных отрезков [x₀;x₁],[x₁;x₂],…,[x_n-1;x_n].2)Выберем на каждом частичном отрезке [x_k-1;x_k]произв точку τ_к и обозн длину каждого из част отрезков ч/з ∆x_k: ∆x_k=x_k-x_k-1 3)Вычислим произвед-я f(τ_k) ∆x_k k=1,2,…,n Интегральной суммой для ф-ции f(x) на отрезке [a;b] наз-ся сумма вида: З. Интегральн. сумма зависит: 1)от способа разбиения [a;b] на частичные отрезки 2)от способа выбора точек τ_k на каждом из частичных отрезков.Опред интегралом от ф-ции f(x) на [a;b] наз-ся предел её интег.суммы при условии, что длина наиб из частичных отрезков → к 0., а сам предел не зависит от способа разбиения [a;b] на частичные отрезки и от способа выбора точек τ_k в каждом из них. При этом пишут: * При этом наз-ют:f(x) – подынтегр сумма f(x)dx – подынтегр.выраж-е а и в - пределы интегрир-я [a;b] – отрезок интегр-я х – переменная интегр-я.Если в рав-ве * предел сущ и конечен, то ф-ция наз-ся интегрируемой на [a;b].З.Опр. инег-л не зависит от обозначения переменной интегр-я, т.е. и т.д.Т1.(о сущ-ии опр.интегр.) Если ф-ция непрерывна на [a;b] то она интегрируема на этом отрезке, т.е. для неё сущ-т опр. интеграл.Т2. Если ф-ция интегрируема на [a;b], то она будет интегрируема и на др. любом отрезке [c;d] *ый содерж в данном.

Основные св-ва опр. интеграла 1)∫^a_af(x)dx=0 2)∫^b_ac f(x)dx=c ∫^b_af(x)dx 3) ∫^b_a(f1(x)+-f2(x))dx=∫^b_af1(x)dx+-∫^b_af2(x)dx 4) ∫^b_af(x)dx=-∫^a_bf(x)dx 5) ∫^b_af(x)dx=∫^c_af(x)dx+∫^b_cf(x)dx 6)Если ф-я f(x) и φ(x) интегрируемы на [a;b]и f(x)≤ φ(x) ¥x e[a;b],то ∫^b_af(x)dx≤)∫^b_aφ(x)dx 7)Если f(x) четная,то )∫^a_-af(x)dx=2)∫^b₀f(x)dx Если а(ч) нечет,то )∫^a_-af(x)dx=0 Т3.(о среднем знач) Если ф-я f(x) непрерывна и неотриц на [a;b],то на этом отрезке найдется точка с,такая,что будкт справ-во рав-во ∫^b_af(x)dx=f(c) (b-a).Интеграл с переменным верхним пределом. Пусть ф-я y=f(x) интегрируема на [a;b],тогда ф-я Ф’(x)=∫^x_af(t)dt,где x e [a;b] наз-ся интеграломс переменным верхним пределом.Т4.Если ф-я f(x) непрерывна на [a;b],то интеграл с переем верх пределом Ф(x) будет дифференц ф-ей на [a;b],причем Ф’(x)=(∫^x_af(t)dt)’=f(x) ¥x e [a;b].Следствие Ф(x)= ∫^x_af(t)dt явл-ся первообр для ф-и f(x) на [a;b]

Интегрирование не*ых иррац и тригоном ф-ий

Интегрир иррац ф-й

Не от всякой иррац. ф-ции интегал выражается ч/з элементар ф-ции В связи с этим рассмотрим некоторые иррац. ф-ции интегралы от которых рационализируются,т.е.приводятся к интегралу от рац ф-и с пом различ подстановок и преобраз и => до конца интегрируются.

Виды интегралов и порядок их нахождения:

1) dx, где R – рац.функция ax+b=t^k

2) , где R – рац.функция

3) , нах-ся путём выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена ax²+bx+c

4) приводится к интегралу вида (3) с помощью подстановки x-α=1/t

Интегр. тригоном. ф-ций

1). ,где R-рац ф-я интегр. с помощью подстановки t=tg(x/2)

Sinx=2t/(1+t²), x=2arctgt; cosx=(1-t²)/(1+t²), dx=2dx/(1+t²)

З.Универс подстановка t=tg(x/2) во многих случаях приводит к сложным вычисл-ям. Однако в нек. Частных случаях интегралы вида могут быть найдены более простым способом.

1. Если R(-sinx;-cosx)=-R(sinx;cosx) COSX=T

2. R (sinx; -cosx)=-R(sinx;cosx) SINX=T

3. R(-sinx; -cosx)= R(sinx; cosx) T=TGX или T=CTGX

2) Возможны случаи: 1. по крайней мере 1 из показателей m или n –нечетное полож число,тогда а)если м – нечёт «+», то применяем cosx=t б)если п-нечёт. «+», то применяем sinx=t 2.оба показ-ля степени-четные неотриц числа,тогда подынтегр ф-ю преобраз с пом формул SinxCosx=1/2Sin2x, Sin²x=1/2(1-Cos2x), Cos²x=1/2(1+Cos 2x)

3) , ,

Находятся путём применения: неберущихся интегралах(сущ элемент ф-и,для *ых первообр элмент ф-ми не явл-ся)∫e^{-x^2}dx ∫Sin(x²)dx ∫Sinx/x dx ∫Cosx/x dx

Методы вычисления опред интеграла

Т1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке АВ, в ф-ция F(x) есть любая первообр для ф-ции f(x) на отрезке АВ, то справ-ва формула З. Формула устан связь м/у опр. интегр-ом и неопр. интегр-ом. З. Для краткости записи употр обознач F(x) .Т2. Пусть: 1) ф-ция f(x) непрерывна на [а;в].2) ф-ция х= непрерывно дифференц-ма на [ ]3) Тогда справ-ва формула: (формула замены переменной в опр.интеграле) З.При вычислении опр. интеграла по данной формуле можно не возвращя к старой переменной.

Интегрирование по частям в опр.интеграле

Т3. Пусть U=U(x) и V=V(x) непрерывно дифер-мые ф-ции на отрезке АВ, тогда справ-ва формула

(формула интегрир-я по частям).З.Термин «непрерывно дифферен-мая ф-ция означ, что сама ф-ция и её пр-ная непрерывны.

Приближенное вычисление опред интеграла Метод Симпсона

Суть:1)[a;b] разбиваем на четное число равных частич отрезков точками a=x₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b n=2m 2)В пределах 1-ых двух отрезков [x₀;x₁],[x₁;x₂] ф-я f(x) заменяется параболой y=Ax²+Bx+C коэфф A,B,C опред из системы линейных ур-ий Ax₀ ²+Bx₀+C=f(x₀) Ax₁ ²+Bx₁+C=f(x₁) Ax₂ ²+Bx₂+C=f(x₂) 3)аналогично параболы строим для др пар отрезков. Сумма площадей параболич трапеций и сост

приближ зн-е опред интеграла ∫^b_af(x)dx≈h/3 [y₀+y_n+4(y₁+y₃+…+y_n-1)+2(y₂+y₄+..+y_n-2)]-формула Симпсона или парабол,где h=b-a/n-шаг разбиения [a;b],y_i=f(x_i),i=1,2,…n, x_i=a+ih,i=1,2,…n. R_n≤h⁴/180 (b-a)*max_a≤x≤b !f^iv(x)! –предельная абсолют погрешность ф.Симпсона

Вычисление S плоских фигур

1. S кривол трапеции огранич сверху гр ф-ции y=f(x) , слева и справа – прямыми х=а и х=в, снизу – осью Ох. 2)S кривол трапеции , огранич справа – гр ф-ции , снизу и сверху – прямыми y=c, y=d, слева – осью Оу. .3)S кривол фигуры, огранич сверху гр ф-ции y₂=f₂(x), снизу гр.ф-ции y₁=f₁(x), слева и справа – прямыми х=а и х=в. 4)S кривол фигуры, огранич справа – гр ф-ции х₂= , слева – гр ф-ции х₁= , снизу и сверху – прямыми y=c, y=d. 5)S фигуры, огранич сверху кривой заданной параметр ур-ями x=φ(t) y=ψ(t) t1≤t≤t2.

_{Несобственный интеграл}

При определении опред интеграла^b ∫_a f(x)dx мы предполаг:1)промежуток [a;b] конечен 2)ф-я f(x) огранич на промеж [a;b]-такой опред интегр наз-ся собств.

Несобственным интегралом от ф-ции f(x) на промеж наз-ся lim_b→+∞∫^b_af(x)dx. При этом пишут: . Если указ предел сущ и конечен, то несобсв.интеграл называется сходящимся. В противном случае – расходящимся..

Геометрически несобств интеграл для неотриц ф-и f(x) предст собой S криволин трапеции,огранич линиями y=f(x) y=0 x=a З.Аналогич образом опред несобств.интеграл и для др.бесконечных промежутков: ; .