Производная ф-и

Производной ф-и y=f(x) в (.)х₀ наз-ся предел отношений приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю.

или

Ф-ция y=f(x) наз-ся дифференцируемой в (.)х₀, если она в этой (.) имеет конечную производную, а сам процесс отыскания производной наз-ся дифференцированием ф-ции. Т1.Если ф-я дифференц в не*ой точке,то она непрерывна в этой точке З. Для одной и той же ф-ции y=f(x) произв. можно вычислять в разл (.), потому произв. точки является функцией от х.Геометр смысл прозводной. k=tg φ=f ‘(x₀).Ур-е касат к кривой y=f(x) в точке M₀(x₀;y₀) y-y₀=f ‘(x₀)(x-x₀).Т3. (произв-я сложн ф-ции). Если y=f(u), а u= - дифференц. ф-ции своих аргументов, то произв-я слож.ф-и y=f[φ(x) cущ и = y ‘_x=y ‘_u u ‘_x или dy/dx=dy/du*du/dx Пример: y=sin(x²). y=sinu и u=x². => y^’=cosu2x=2x cos(x²).

Логарифмической произв. ф-ции y=f(x) наз-ся произ-я от логарифма этой ф-и, т.е. (lny)’=y’/y=f’(x)/f(x). Пусть нам дана степенно-показ ф-я y=u^v U=U(x),V=V(x)-дифференц ф-и от х,причем U(x)>0.Вычислим произв этой ф-и.Логарифмируя,получим lny=v lnu.Продифференц обе части полученного рав-ва по х (lny)’=(vlnu)’ или y’/y=v’lnu+v*u’/u.Отсюда y’=y[v’lnu+v*u’/u] окончательно y’=u^v[v’lnu+v*u’/u] Ф-ция х= наз-ся обратной ф-ции y=f(x) если f[φ(y)]=y или φ[f(x)=x (y=e^x ( обратная ф-и) x=lnx) Т4. Если для дифференцир. ф-ции y=f(x) сущ-т обратная ф-ция x=φ(y), то их произв. связаны отношением x’_y=1/y’_x или dx/dy=1//dy/dx.Произв-я неявной ф-и Если зав-ть м/ду ф-ей y и аргументом х задана неявно ур-ем F(x;y)=0,то для отыскания пр-ной y’=y’_x необходимо:1)продиффер по х обе части ур-я F(x;y)=0,учитывая что y от х.2)решить полученное ур-е относ y’.

Приложения поизводной

Т1.(Теорема Ролля).Пусть ф-я f(x) удовл условию:1.непрерывна на [a;b]2. дифференцируема в интервале (a;b) 3. на концах отрезка принимает равные знач-я т.е. f(a)=f(b), Тогда сущ (.)С , что f ‘(c)=0. Т2 (теорема Лагранжа).Пусть ф-ция f(x) удовл условию:1.непрерывна на [a;b]2. дифференцируема в интервале (a;b)Тогда сущ (.)С , такая что справедлива формула З. Теорема Ролля явл-ся частным случаем т.Лагранжа.Т3.(теорема Коши).Пусть ф-ции f(x) и удовл условиям: 1.непрерывна на [a;b] 2. дифференцируема в (a;b) 3. , Тогда сущ (.)С , такая что справедлива формула .«Правило Лопиталя»

Если , то говорят, что в (.)а ф-ция имеет неопред-ть вида 0/0 или ∞/∞.Вычисление пределов ф-ции в (.)ах их непределенностей наз-ся раскрытием неопределённости. Т4 (Пр.Лопиталя)Предел отношения двух БМ или ББ ф-й р= пределу отношений их произв-х, если последний сущ , т.е. если , то если предел справа сущ. З Пр.Лопиталя прим-ся только для раскрытия неопред вида 0/0 или ∞/∞, а неопр-ти др.вида сначала с помощью тождеств. преобраз приводятся к осн видам и только потом раскр-ся с помощью пр.Лоп-я. З.Для раскрытия степенных неопред примен взаимообратн преобраз «логарифмир-е-потенциров-е»