Асимптоты плоских кривых

Прямая L наз-ся асимптотой кривой y=f(x),если расстояние δ от переменной точки М на кривой до этой прямой→0 при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат(т.е. при стремлении хотя бы 1 из коорлинат точки к 0).

Классификация асимптот.1)Прямая х=а явл-ся вертикальной асимптотой кривой y=f(x),если lim_x→af(x)=∞,либо lim_x→a-0f(x)= ∞,либо lim_x→a+0f(x)= ∞ 2)Прямая y=b явл-ся горизонтальной асимптотой кривой y=f(x),если сущ-ет конечный предел lim_x→+∞f(x)=b или lim_x→-∞f(x)=b 3)Прямая y=kx+b явл-ся наклонной асимптотой кривой y=f(x),если сущ-ют 2 конечных предела lim_x→±∞f(x)/x=k, lim_x→±∞(f(x)-kx)=b. З.Кривая(гр.ф.) y=f(x) может иметь неск-ко вертикальных асимптот,не более 2 горизонт либо наклонных асимптот(левой и правой).

Общая схема исследования ф-и

1)область определения,2)иследуем ф-ю на четность,нечетность и периодичность,3)исследуем ф-ю на непрерывность(находим точки разрыва,если они сущ-ют и устан тип разрыва,4)находимточки пересечения гр.ф.с осями координат,5)находим интервалы возрастания и убывания ф-ии,6)исслед ф-ю на экстремум,7)находим интервалы выпуклости,вогнутости и точки перегиба гр.ф.,8)находим асимптоты гр.ф.,выявляем поведение ф-и к ∞,9)На основании проведенного исслед-я строим гр.ф

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл

Ф-я F(x) наз-ся первообразной для ф-и f(x) на данном промежутке,если на этом промежутке F’(x)=f(x).З.Если для данной ф-и f(x) сущ-ет первообр,то эта первообр не явл-ся единственной.Т1.Если F₁(x) и F₂(x)-2 первообр для ф-и f(x) на не*Ом промежутке,то разность между ними на этом промежутке=постоянному числу.Следствие: Если для ф-и f(x) найдена к-н одна первообр F(x),то любая другая первообр для ф f(x) имеет вид F(x)+C,C=const.Неопред интегралом от данной ф f(x) наз-ся мн-во всех ее первообр.Обозн: ∫f(x)dx=F(x)+C,где F’(x)=f(x) C=const (∫-знак неопред интеграла,f(x)-подынтегральная ф-я,f(x)dx-подынтегральное выраж-е,х-переменная интегриров-я.Отыскание неопред интеграла от не*ой ф-и наз-ся интегрированием этой ф-и.

Геом смысл неопред интеграла

Геометрически неопред интеграл от ф-и f(x) предст собой семейство «параллельных»кривых.F’(x)=f(x).

Т2.О сущ-ии первообразных.Если ф-я f(x) непрерывна на [a;b],то на этом отрезке для нее сущ-ет первообр,а значит и неопред интеграл.

Св-ва неопред интеграла. Правила интегрирования

1)Пр-ная от неопред интеграла=подынтегральной ф-и (∫f(x)dx)’=f(x) 2)дифференциал от неопред интеграла=подынтегральному выр-ю d(∫f(x)dx)=f(x)dx 3)неопред интеграл от дифференциала не*ой ф-и=этой ф-ии+произвольная постоянная ∫dF(x)=F(x)+C C=const 4)постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ∫af(x)dx=a∫f(x)dx a-не*ое число 5)неопред интеграл от суммы (разности) 2-х ф-й=сумме(разности)неопред интегралов от этих ф-й ∫[f₁(x)±f₂(x)]dx=∫f₁(x)dx±∫f₂(x)dx 6)инвариантность формы неопред интеграла(переменной интегрирования может явл-ся не только незав переем,но и ф-я) т.е. ∫f(x)dx=F(x)+C U=U(x)-не*ая диффер ф-я от х,то ∫f(u)du=F(u)+C

Таблица осн интегралов

1) ∫dx=x+C 2) ∫x^adx=x^a+1/a+1+C (a≠-1) 3) ∫dx/x=ln!x!+C 4) ∫e^xdx=e^x+C 5) ∫a^xdx=a^x/lna+C(a>0,a≠1) 6) ∫Sinx dx=-Cosx +C 7) ∫Cosx dx=Sinx+C 8) ∫dx/Cos²x=tgx +C 9) ∫dx/Sin²x=-ctgx+C 10) ∫dx/√1-x²=arcsin x+C 11) ∫dx/1+x²=arctg x+C 12) ∫dx/√x²+a=ln !x+√x²+a!+C(a≠0) 13) ∫dx/x²-1=1/2 ln !x-1/x+1!+C

Непосредственное интегрирование

Суть метода непосредств интегрирования сост в приведении подынтегрального выр-я к табличному виду путем преобразований и применения св-в неопред интеграла.З.Св-ва инвариантности формул неопред интеграла(св-во 6) позволяет значительно расширить таблицу осн интегралов с помощью приема подведения ф-и под знак дифференц.,т.е. преобразования интеграла к виду ∫f[φ(x)]φ’(x)dx=∫f(u)du u=φ(x)

Основные методы интегрирования

Метод замены переменной

Т1.формула замены переменной. Пусть:1)x=φ(t)-монотонная,непрерывно диффер ф-я от аргумента t 2)y=f(t)-непрерывная ф-я от аргумента х,тогда справедлива формула ∫ f(x)dx=∫ f [φ(t)]φ’(t)dt (формула замены переменной в неопред интеграле).З.Иногда вместо подстановки x=φ(t) лучше использ подстановку вида t=φ(x).З.Прием подведения ф-и под знак дифференц явл-ся частным случаем метода замены переменной.З.Вопрос о том,какого вида подстановку следует выбирать x=φ(t) или t=φ(x) решается отдельно для каждого конкр случая,главное,чтобы в рез-те подстановки интеграл упростился

Метод интегрирования по частям

Т2.Пусть U=U(x) и V=V(x)-непрерывно диффер ф-ии,тогда справедлива формула ∫ Udv=UV-∫ Vdu (формула интегрирования по частям в неопред интеграле).З.Формула интегрирования по частям чаще всего применяется тогда,когда подынтегральная ф-я предст собой произв-е степенной ф-ии на трансцендентную(иррац) (log,Sin)

Интегрирование рациональных ф-й

Рацион ф-ей или рац дробью наз-ся отношение двух многочленов.Рац дробь наз-ся правильной,если степень многочлена в числителе ниже степени многочлена в знаменателе,в противном случае дробь наз-ся неправ.Т3.о разложении неправ рац дроби.Всякую неправ рац дробь (P(x)/Q(x)) можно представить в виде суммы многочлена и прав рац дроби путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов P(x)/Q(x)=M(x)+P₁(x)/Q(x), где М(х)-многочлен, P₁(x)/Q(x)-прав дробь.

Простейшими дробями наз-ся прав дроби след вида 1)A/x-a 2)A/(x-a)^mm-целое число,m≥2 3)Bx+C/x²+px+g,где знаменатель не имеет действ корней (D=p²-4g<0) 4)Bx+c/(x²+px+g)^mm-целое число,m≥2 знам-ль не имеет действ корней (D=p²-4g<0).Т4.о разложении прав рац дроби на простейшие.Если P(x)/Q(x)-прав рац дробь и Q(x)= (x-a)^m*…*(x²+px+g)ⁿ,где трехчлен x²+px+g не имеет действ корней (p²-4g<0),тогда справедлива формула P(x)/Q(x)= A₁/x-a+A₂/(x-a)²+…+A_m/(x-a)^m+…+ B₁x+C₁/(x²+px+g)+ B₂x+C₂/(x²+px+g)²+…+ B_nx+C_n/(x²+px+g)ⁿ.

З.Коэффициенты в тождеств рав-ве нах-ся методом неопред коэффициентов,*ый состоит в следующем: 1)приводим дроби в тождеств рав-ве к общему знаменателю и зн-ль отбрасываем; в рез-те получаем тожд рав-во двух многочленов 2)приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях многочленов,тем самым получаем систему линейных уравнений для опред-я неизвестных коэффиц.З.Для получения системы ур-ий с неизвест коэффиц можно также в тождестве для многочленов придавать пременным х различ зн-я.

Порядок интегрирования рац дробей

1)если дробь неправ,то ее представляют в виде суммы многочлена и прав рац дроби 2)разлагают знам-ль прав рац дроби на множители вида (x-a)^m,…, (x²+px+g)ⁿ 3)прав рац дробь разлагают на сумму простейших,применяя метод неопред коэффиц. 4)интегрируют полученное разложение исходной дроби

Непрерывность ф-и

Ф-ция y=f(x) наз-ся непрерывной в точке х₀:1.она опред в не*ой окрестности (.) х₀

2. сущ 3. =f(x₀)З. Поскольку =f(x₀) то условие 3 при опр1 можно записать: =f т.е. для непрерывной ф-и символы предел и ф-и можно менять местами.Пусть ф-я y=f(x) опред на промежутке х и (.)х,х_{0 ,} тогда разность на-ся приращением аргумента в точке х₀. А разность наз-ся приращением функции в (.)х₀ (эквивалентное определение непрерывности). Ф-я y=f(x) называется непрерывной в (.)х₀, если:1.Она определена не*ой окрестности (.)х₀2.БМому приращению аргумента соотв БМое приращение ф-и, т.е. .

Свойства функций непрерывных в точках:

Т1. Если ф-я f(x) и непрерывны в (.)х₀, то в этой (.) также будут непрерывны и ф-и f(x) , f(x) , f(x):f( .Т2. ( о непрерывности сложной ф-и). Если ф-я u= непрерывна в (.)х₀, а ф-я у=f(u) непрерывна в (.)u₀= то сложная ф-я будет непрерывной в (.)х₀.

Ф-ция y=f(x) называется непрерывной на промежутке х если она непрерывна в каждой (.) этого промежутка.

Свойства ф-ции непрерывных на отрезке

Т3. (об ограниченности ф-ции). Если ф-ция непрерывна на [AB], то она ограничена на этом отрезке т.е. .Т4. ( о наиб и наим знач). Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наиб и своего наим знач-ий., т.е. для _{х .}Т5. ( о переходе через «0»). Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке АВ, и на его концах приним знач-я разл. знаков, то внутри этого отрезка найдётся хотя бы одна точка c:f(c)=0Т6. ( о промеж знач). Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке АВ и на его концах приним неравные знач-я, то каково бы ни было число С, заключённое м/у значениями f(a) и f(b) найдётся (.)С .Т7. Все элементаре ф-ции непрерывны в области их опред-я. З.К элем.-м ф-ям относят:степенные, логарифмич, показательн, тригонометрич, обратные тригонометрич-м. А также ф-ции постоен-е из них с помощью конечного числа арифм.операций и конечного числа операций образ-я сл.ф-ции. Точка х₀ называется точкой разрыва, ф-ции f(x), если f(x) в данной точке не явл-ся непрерывной.

.Если х₀ есть точка разрыва ф-ции f(x) и в этой точке сущ конечные одностор пределы f(х₀-0) и f(х₀+0), то (.) х₀ наз-ся точкой разрыва первого рода. (.)разрыва 1^го рода делятся на:1.(.) устранимого разрыва если f(x₀-0)=f(x₀+0) 2. (.) скачка, если f(x₀-0) f(x₀+0). При этом разность f(x₀-0)-f(x₀+0) наз-ся скачками ф-ции