Грани числовых мн-в.

Пусть Х-не пустое мн-во чисел.Мн-во Х наз-ся ограниченным сверху,если сущ число С,такое,что для любого ¥_хЕХ вып-ся х≤С.Число С при этом наз-ся верхней гранью мн-ва Х.Мн-во Х наз-ся ограниченным снизу,если сущ число С,такое,что ¥_хЕХ вып-ся х≥С.Число С при этом-нижняя грань мн-ва Х. Мн-во,огранич и сверху,и снизу наз-ся ограниченным.Если мн-во ограничено,то у него сущ бесконечное мн-во верхних и нижних граней.наименьшая из всех верхних граней мн-ва Х наз-ся точной верхней гранью sup x.Наиб из всех нижних граней мн-ва Х наз-ся точной нижней гранью inf x.Св-во точных граней:для любого числа Е>0 сущ число хЕХ,такое,что х>sup x-E(x<inf x+E)

Т любое не пустое огранич сверху(снизу) мн-во имеет точную верхнюю(нижнюю)грань.

Модуль действ числа

Абсолютной величиной(модулем)действ числа Х наз-ся само число Х,если Х≥0 или число –Х,если Х<0.!Х!={Х,если Х≥0

{-Х,если Х<0.Св-ва модуля:1!Х!≥0, 2!X+Y!≤!X!+!Y!, 3!X-Y!>!X!-!Y!, 4!XY!=!X!*!Y!, 5!X/Y!=!X!/!Y!,Y≠0

Если посл-ть {X_n} имеет предел,то она наз-ся сходящейся,если не имеет-расходящейся.З. Посл-ть может иметь только 1 предел.

Геометр смысл предела посл-ти

Геометр место точек,удовл нер-ву !x-a!< ε есть интервал (a-ε;a+ ε),т.е. ε-окрестность точки а. =>вып-е нер-ва !X_n-a!< ε для ¥ n>N геометрически означает,что все элементы посл-ти {X_n},начиная с элемента X_N+1 ,будут находиться в пределах ε окрестности точки а.

З.Если ε уменьш,то ε-окрестность (a-ε;a+ ε) сужается,а значит число N увеличивается,поэтому для всевозможных значений ε>0 нельзя указать единств число N,оно зависит от конкретного значения ε,поэтому пишут N=N(ε).

Теоремы о пределах числовой посл-ти

Т1.Если посл-ть имеет предел,то она ограничена Т2.Монотонная и ограниченная посл-ть имеет предел Т3.Если lim_n→∞X_n=a, lim_n→∞Y_n=b и X_n≤Y_n ¥n,то a≤b.Т4. lim_n→∞X_n=a, lim_n→∞Y_n=a и Y_n ≥Z_n≥X_n ¥n ,то lim_n→∞Z_n=a.Т5.Пусть lim_n→∞X_n=a, lim_n→∞Y_n=b,тогда 1) lim_n→∞(X_n+-Y_n)=a+-b 2) lim_n→∞(X_nY_n)=ab 3) lim_n→∞(X_n/Y_n)=a/b(b≠0).

Числом е наз-ся lim_n→∞(1+1/n)ⁿ=е. Логарифмы с основанием е наз-ся натуральными и обозн log_ex=ln x

Табличный-с-ит в том, что ф-я задается таблицей содержащей знач-еаргументаи соответствующие значения ф-и.Графический-с-ит в том,что соответствие м/у аргументом и ординатой ф-ей устанавливается с помощью графика.

Основные св-ва ф-ции

Ф-я у=f(х) наз-ся четной,если f(-x)=f(x) для ¥хЕD(f). нечет,если f(-x)=-f(x) для ¥хЕ D(f). З-е.График четной ф-и симметр оси Оу, а нечет относ начала коорд (0,0) Ф-я у =f(x) наз-ся периодической с периодом Т≠0,если f(x+T)=f(x)¥xED(f). Ф-я у =f(x)) наз-ся возраст (убыв) на пром-ке х,если на этом пром-ке большему зн-ию аргумента соотв большее(меньшее) зн-е ф-и. Ф-и возр-щие и уб-щие наз-ся монотонными. Ф-я у =f(x) ограниченной на пром-ке Х,если сущ М>0:!f(x)≤М для ¥хЕХ, в противном случае ф-я наз-ся неограниченной.

Классификация

Ф-я наз-ся явной,если она задана формулой для *ой правая часть не содерж завис переменной. Неявной- от аргумента х,если задана ур-ем F(х,у)=0- неразрешимым относ завис переменной. Ф-я у от аргумента х, заданная поср-вом цепи из двух ф-ий у=f(x), u=φ(х)-наз-ся ф-я от ф-и или сложной ф-ей и записывается у=f[φ(x)]. Переменная u при этом наз-ся промежуточной переменой.

Т.1ЧислоА наз-ся пределом f(x) в т.а в этой точке сущ-ют равные между собой и равные числу А односторонние пределы .lim_x→af(x)=A lim_x→a-0= lim_x→a+0=A.

Следствие.Если в точке х=а ф-я имеет различные одностор пределы или хотя бы 1 из них не сущ-ет,то не сущ-ети предела ф-и этой точке.

БМ и ББ функции

Ф-я α(x) наз-ся БМ при х→а(или х→∞),если lim_x→aα(x)=0 (lim_x→∞α(x)=0).Св-ва БМ.1.алгебраическая сумма конечного числа БМ есть БМ.2.ппоизвед-е конечного числа БМестьБМ.3.произвед-е БМ на ограниченных ф-ях есть БМ.Ф-я y=f(x) наз-ся ББ при х→а,если для числаЕ>0 .При этом пишут lim_x→af(x)=∞.Ф-я y=f(x)наз-ся ББ при х→∞,если для При этом пишут lim_x→∞f(x)=∞.Св-ва ББ.1сумма 2х ББ есть ББ ф-я.2.пр-е 2х ББ есть ББф-я.3.сумма ББ и ограниченной ф-й есть ББ.Замечательные пределы 1)lim_x→0Sin x/x=(0/0)=1 2)lim_x→∞(1+1/x)^x=(1^∞)=e или lim_x→0(1+1/x)^1/x=e.

Основные теоремы о пределах

Т2.Если ф-я α(х)есть БМ при х→а,то ф-я 1/α(х) будет ББ при х→а и наоборот.Т3.Ф-я f(x) не может иметь более 1 предела при х→а.Т4.Если сущ-ют конечные пределы lim_x→af(x)=A, lim_x→aφ(x)=B,то lim_x→a(f(x)±φ(x))=A+B,lim_x→a(f(x)* φ(x))=AB,lim_x→af(x)/ φ(x)=A/B(B≠0)Т5Если lim_x→af(x)=A и lim_x→aφ(x)=B и f(x)≤ φ(x) в не*ой окрестности точки а,то А≤ВТ6пусть в не*ой окрестности т.а вып-ся соотнош-е φ(x)≤f(x)≤g(x) и при этом lim_x→aφ(x)= lim_x→ag(x),тогда lim_x→af(x)=AТ7.Ф-я f(x),имеющая предел в т.а явл-ся ограниченной в не*ой окрестности т.а

Применение дифференц для приближ вычислений

Если приращение аргумента ∆х мало по абсолютной величине,то в этом случае приращение ф-и ее дифференциалу,т.е. ∆y dy или f(x+∆x)-f(x) f ‘(x)dx=f ‘(x)∆x отсюда f(x+∆x) f(x)+f ‘(x)∆x

Производные и дифференциалы высшего порядка

Пр-ная f ‘(x) наз-ся пр-ной 1-го порядка.Пр-ная от пр-ной f ‘(x) наз-ся пр-ной 2-го порядка от ф-и y=f(x).y_x ‘,f ‘(x) или d²y/dx²,d²f(x)/dx²; y’’=(y’)’ или d²y/dx=d/dx*dy/dx.Пр-ной n-го порядка или n-ой пр-ной от ф-и y=f(x) наз-ся пр-ная от ее пр-ной n-1-го порядка y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’или dⁿy/dxⁿ=d/dx(d^n-1y/dx^n-1).Пр-ные,начиная со 2-ой наз-ся пр-ными высшего порядка.Дифференциал dy наз-ся дифференциалом 1-го порядка или 1-ым дифференц или дифференц 2-го порядка или 2-ым диффер ф-и y=f(x) наз-ся дифференциал от ее 1-го диффер:d²y=d(dy).Диффер n-го порядка ф-и y=f(x)наз-ся диффер от ее (n-1)го дифференциала:dⁿy=d(d^n-1y).Т4.Диффер n-го порядка равен пр-ю пр-ной n-го порядка на n-ю степень дифференциала независ переменной: dⁿy=f⁽ⁿ⁾xdxⁿ

Пр-ная ф-й,заданных параметрически

Т5Если зав-ть между ф-ей y и аргументом x адана посредством параметра t параметрич ур-ями x=φ(t),y=ψ(t),t₀≤t≤t₁,то y_x’=y_t’/x_t’ или dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt),при условии,что пр-ные справа сущ-ют.

Исследование ф-ий

Выпуклость,вогнутость и точки перегиба гр ф-ии

Гр дифференц ф-и y=f(x) наз-ся выпуклым(вогнутым) в (a;b),если он расположен ниже(выше) касательной,провед к гр ф-и в любой точке этого интервала.З.Гр ф-и в одних интервалах м.б. выпуклым,а в других вогнутым.Т1.Достаточное условие выпуклости(вогнутости)гр. ф. Пусть ф.f(x) дважды дифференцируема в (a;b),тогда гр.ф.в этом интервале явл-ся:1выпуклым,если f’’(x)<0 в (a;b);2.вогнутым,если f’’(x)>0 в (a;b).Точкой перегиба гр диффер ф-ии y=f(x) наз-ся любая его точка,при переходе через *ую выпуклость меняется на вогнутость или наоборот.Точки,в *ых 2-ая пр-ная ф-ии =0(либо∞),либо вовсе не сущ-ет,наз-ся критическими точками 2-го рода.Т2.Необходимое условие сущ-я точки перегиба.Абсциссы точек перегиба гр.ф. явл-ся критическими точками 2-го рода.Т3.Достаточное условие сущ-я точки переиба.Если для дважды диффер ф f(x) точка x₀ явл-ся критич точкой 2-го рода и при переходе через эту точку 2-ая пр-ная f’’(x) меняет знак,то т.M₀(x₀;f(x₀)) явл-ся точкой перегиба гр.ф.