Элементы теории множеств.
Множество-сов-ть объектов произвольной природы,а объекты,из *ых сост. данное мн-во наз-ся его элементами или точками.
обознач мн-во большими буквами А,В,С. элементы мн-ва-малыми а,в,с
если а есть элемент мн-ва А,то аЕА
Способы задания мн-в:
1Путем непосред.перечисления всех его элементов А={а1,а2,…,аn}
2Путем указания закона или св-ва,согласно *ому можно опред элементы данного мн-ва. А={а!Р(а)} А={а!а2-2а-1}
Мн-во,*ое не содерж ни 1 элемента наз-ся пустым. Мн-во А наз-ся подмн-вом мн-ва В,если все элементы А явл. одновременно элементами мн-ва В.при этом пишут АсВ. 2 мн-ва наз-ся равными,если они сост из одних и тех же элементов.
Операции над мн-вами
Объед-е 2 мн-в Аи В-мн-во С,состоящее из всех элементов,принадл хотя бы 1 из данных мн-в. С=АUВ
Пересечение 2 мн-в АиВ-мн-во D,сост из всех элементов одновременно принадл каждому из данных мн-в.D=АΛВ
Разность мн-в АиВ-мн-во Е,сост из всех элементов мн-ва А,*ые неЕ мн-ву В.Е=А\В
Использ диаграммы:
Числовые мн-ва.
Мн-ва,элементами *ых явл действ (веществ) числа,наз-ся числовыми. Действ.числа:1рациональные(число,*ое можно предст в виде отношения m/n двух целых чисел,причем n не=0;2действ число,*ое не явл рац числом
Числовая посл-ть
Если к каждому числу n из натур ряда чисел 1,2,3,…,n,…поставлено в соотв действ число Хn,то мн-во действ чисел Х1,Х2,Х3,…Хn,…наз-ся числовой посл-тью или посл-тью,при этом Х1,Х2,Х3,…,Хn,…элементы(члены) посл-ти Хn-общий элемент(член),n-номер общего элемента.Посл обознач {Xn}З.Любая числовая посл-ть содержит бесконечное мн-во элементов,среди *ых м.б.равные.
Посл-ть {Xn} наз-ся ограниченной,если сущ число M>0,такое,что для ¥n вып-ся !Xn!<M. Посл-ть {Xn} наз-ся неограниченной,если для любого M>0 сущ n,такое,что !Xn!>M.
Посл-ть {Xn} наз-ся:1)возрастающей(неубыв),если Xn≤Xn+1 для ¥ n 2) строго возрастающей,если Xn<Xn+1 для ¥ n 3)убывающей(невозраст),если Xn ≥Xn+1 для ¥ n 4) строго убывающей,если Xn >Xn+1 для ¥ n 5)монотонной,если она явл возраст или убывающ.
Предел числовой посл-ти
Интервал (a-ε;a+ ε)={x! !x-a!< ε},где ε<0 наз-ся ε окрестности точки а
Число а наз-ся пределом посл-ти {Xn},если для ¥ε>0 сущ N зависящее от ε,такое,что для ¥ n>N вып-ся нер-во !Xn-a!< ε.При этом пишут limn→∞Xn=a (Xn→a при n→∞). З.
Понятие функции
Постоянной величиной наз-ся величина,сохран одно и то же значение.(пр.отношение длины окружности к диаметру=π) Переменной величиной или просто переменной наз-ся велич-а,*ая может принимать различные числовые значения.Пусть Х и У-не*ые числовые мн-ва,если каждому элементу хЕХпоставлен в соотв элемент уЕУ,то говорят,что на мн-ве Х задана ф-ия: у =f(x), при этом х-независ переменная или аргумент,у-завис переменная,f-закон соотв-я.Пусть на мн-ве Х задана ф-ия у=f(х), тогда мн-во Х наз-ся обл.опред-я или обл. сущ-я.Ф-я у=f(х)и обозн D(f) или D(у), при этом мн-во Е={f(x)!xED(f)}-наз-ся обл.опред. ф-и. З. Если мн-во Х-специально не определено,то обл.опред.ф-и подразумевается обл.всех допустимых значений независ переменной,т.е. мн-ва таких значений х при *ых ф-ия у=f(х) вообще имеет смысл. Знач-е ф-и у=f(х) при х=а,где аЕD(f) наз-ся частным значением ф-и и обозн f(a). Графиком ф-и у=f(x)наз-ся мно-во точек (х,у) плоскости абциссы х, а ординаты соотв-щие им знач-я ф-и у=f(x) G(f)={(x,y)ER2!xED(f),y=f(x)}.
Cпособы задания ф-й: Аналитический-состоит в том,что ф-я задается формулой у=f(х)-этот способ чаще всего встречается на парактике.
Понятие предела ф-ции
пусть ф-я y=f(x)
определена в не*ой окрестности точки
а,исключая саму точку а.Число а наз-ся
пределом ф-и
y=f(x)
при х→а или точке а,если
ε>0
>0
такое,чтодля всех х удовл условию
0<!x-a!<δ
(1) вып-ся нер-во !f(x)-A!<ε(2).limx→af(x)=A
или f(x)→A
при х→а. З.limx→af(x)=A
ε
Геом смысл предела ф-и
Нер-во (1) означ х≠0
и х
,т.е.δ
окрестности т.а на оси ОХ.Нер-во
(2)означ,что соотв зн-е ф-и f(x)
,т.е.ε
окрестности т.А на оси OY
точки
Р гр.ф-и y=f(x)
лежат в полосе шириной 2ε,огранич прямыми
y=A-ε,y=A+ε
для
З.Для
сущ-я предела ф-и y=f(x)
в т.а не требуется,чтобы ф-я была
определена в самой т.а.Число А наз-ся
пределом ф-и y=f(x)
при х→∞,если для
.limx→∞f(x)=A
Односторонние пределы ф-и
Иногда приходится рассматривать вопрос о пределе ф-и,когда х может приним не все зн-я,достаточно близкие точке а,а только большие или только меньшие,чем а.Если x<a и х→а,то пишут х→а-0(слева).Если х>а и х→а,то пишут х→а+0(справа).Если сущ-ют числа f(a-0)=limx→a-0,f(a+0)= limx→a+0,то они соотв-но наз-ся левым и правым пределом,либо пределом слева и пределом справа ф-и f(x) в т.а.
Дифференциал ф-и
Понятие дифференциала ф-и
Если ф-я y=f(x) дифференцируема в т.х,то главная часть приращения ф-и линейная относ приращения аргумента наз-ся дифференциалом ф-и в этой т. и обозн dy или df(x).Дифференциалом независ переменной наз-ют само приращение ∆х,т.е. dx=∆x.Т1.дифференциал ф-и y=f(x) в т.х =произв-ю ее производ в этой точке на дифференциал независ переменной,т.е. dy=f '(x)dx-осн формула дифференц ф-и.
Геом смысл дифференциала
Возьмем на гр.ф-и y=f(x) произвольную т.М(x;y).Дадим аргументу х приращение ∆х.Тогда ф-я получит приращение ∆y=f(x+∆x)-f(x).Проведем касательную к гр.ф-и в т.М.Обозначим через φ угол наклона касательной с полож направл оси ОХ.Введем обозн-е для точек пересеч различ линий.Из прямоуг ∆ MLNполучаем tgφ=LN/MN=>!tgφ=f ‘(x)!=>f ‘(x)=LN/∆x=>LN=f ‘(x)∆x=!∆x=dx(def)!=f ‘(x)dx=dy(th). Вывод: дифференциал ф-и в т.х=приращению ординаты касательной,провед к гр.ф-и в т.M(x;y),когда аргумент получает приращение ∆х.
Св-ва дифференциала ф-и
Т2.Если С-пост число,а U=U(x),V=V(x)-не*ые дифференц ф-и,то справедл соотнош: 1dc=0;2 d(cu)=cdu;3 d(u±v)=du±dv;4 d(uv)=du*v+u*dv;5 d(u/v)=du*v-u*dv/v2(v≠0).Т3.Инвариантность формы дифференциала.Формула dy=yu‘du справедлива независ от того,явл-ся ли аргумент и независ переменной или ф-ей другого аргумента.
Всякое рац число явл либо целым,либо предст-ся периодич десятич дробью. Иррац число-непериодич десятич дробь. геометрически мн-во действ чисел R изобр точками числовой прямой,поэтому принято исп-ть обозн и термины: [a,b]={x!a≤x≤b}-отрезок(сегмент),(а,в)={x!a<x<b}-интервал,[a,b)={x!a≤x<b}-полуинтервал.