Задача №4

Для статически неопределимой шарнирно-стержневой системы требуется:

- раскрыть статическую неопределимость;

- определить температурные напряжения в стержнях в случае нагревания только наклонного стержня;

- проверить прочность стержней.

Стержни стальные. Коэффициент линейного расширения стали α=125*10^-7 1/град. Модуль продольной упругости принять равным E=2,1*10⁵ МПа.

Схема расположения опор и нагружения балки в общем виде представлена на рис 11.

Рис 11

В соответствии с общей схемой решения подобных задач (на основании аксиомы статики) мы заменяем связи, наложенные на систему реакциями связи. Схема реакций связей в точках 0,1,2,3 представлена на рисунке 12.

Рис 12

Тогда уравнения равновесия балки в проекции на ось х будут иметь вид:

А уравнения равновесия в проекции на ось y будут иметь вид:

Уравнения моментов относительно оси 0 будут иметь вид:

Система является статически неопределимой, поэтому уравнения равновесия необходимо дополнить уравнениями совместимости деформаций. Схема деформаций представлена на рис. 13. При этом предполагается, что балка после деформаций останется прямой, при том тангенс угла наклона балки Δφ будет определятся по формулам:

tg Δφ=Δλ₁/(x₁-x₀)= Δλ₂/(x₂-x₀)= Δλ₃/(x₃-x₀)

Рис 13

Δλ_i= Δλ_if +Δλ_if

Δλ_if-силовая деформация стержня

Δλ_i=-R_isinα_i/A_i/E

Δλ_it-температурная деформация стержня

Δλ_i=ΔT_iαt

Где A_i – площадь сечения i-го стержня

E – модуль Юнга.

ΔT_i – нагрев стержня

αt – коэффициент линейного расширения материала стержня.

Тогда система уравнений имеет вид:

MZ=Q

Искомый вектор Z=(R1;R;R3;Rx;Ry),

Правые части уравнений

Q=(0;0;0; E(-Δλ₂t(x₂-x₀)/A₂ +Δλ₃t(x₃-x₀)/A₃); E (-Δλ₁t(x₁-x₀)/A₁ +Δλ₃t(x₃-x₀)/A₃)).

Матрица M имеет вид:

М=

Рассмотрим пример.

Данные варианта

x1	0
x2	20
x3	60
x0	40
xf	50

Тогда матрица М имеет вид:

-1,8E-16	-0,70711	0,707107	1	0
-1	0,707107	0,707107	0	1
40	-14,1421	14,14214	0	0
0	-0,05303	0,02357	0	0
0,025	0	0,02357	0	0

Матрица М-1 может быть вычислена в Excel c помощью встроенной функции МОБР().

Результат вычислений

0	0	0,031579	-8,42105	-10,5263
0	0	-0,01489	-14,8865	23,81833
0	0	-0,03349	8,931875	53,59125
1	0	0,013158	-16,8421	-21,0526
0	1	0,065789	-4,21053	-65,2632

Нагрузки возникающие в стержнях

Решение

-3256,41

-5756,58

3453,947

Тогда величины напряжений возникающие в стержнях рассчитываются по формуле

Напряжения в стержнях
(Мпа)	-32,5641
(Мпа)	-47,9715
(Мпа)	23,02632

Как видим напряжения не превосходят предела текучести для стали.