Задача №3

Для статически неопределимой шарнирно-стержневой системы требуется:

- раскрыть статическую неопределимость, выразив усилия в стержнях через неизвестную силу F;

- из расчета на прочность определить допускаемую величину силы F.

Стержни стальные. Данные для расчета взять из таблицы 3 в соответствии с заданным номером схемы и номером варианта рассчитываемой системы.

Схема расположения опор и нагрузок на балку в общем виде представлена на рис 8

Рис 8

В соответствии с общей схемой решения подобных задач (на основании аксиомы статики) мы заменяем связи, наложенные на систему реакциями связи. Схема реакций связей в точках 0,1,2,3 представлена на рисунке 9.

Рис 9

Тогда уравнения равновесия балки в проекции на ось х будут иметь вид:

А уравнения равновесия в проекции на ось y будут иметь вид:

Уравнения моментов относительно оси 0 будут иметь вид:

Система является статически неопределимой, поэтому уравнения равновесия необходимо дополнить уравнениями совместимости деформаций. Схема деформаций представлена на рис. 10. При этом предполагается, что балка после деформаций останется прямой, при том тангенс угла наклона балки Δφ будет определятся по формулам:

tg Δφ=Δλ₁/(x₁-x₀)= Δλ₂/(x₂-x₀)= Δλ₃/(x₃-x₀)

Рис 10.

Δλ_i-деформация стержня

Δλ_i=-R_isinα_i/(x_i-x₀)/A_i/E

Где A_i – площадь сечения i-го стержня

E – модуль Юнга.

Тогда система уравнений имеет вид:

MZ=Q

Искомый вектор Z=(R1;R;R3;Rx;Ry),

Правые части уравнений Q=(0;F;-F(x_f-x₀);0;0).

Матрица M имеет вид:

М=

Рассмотрим пример.

Данные варианта

x1	0
x2	20
x3	60
x0	40
xf	50

Тогда матрица М имеет вид:

-1,8E-16	-0,70711	0,707107	1	0
-1	0,707107	0,707107	0	1
40	-14,1421	14,14214	0	0
0	-0,05303	0,02357	0	0
0,025	0	0,02357	0	0

Матрица М-1 может быть вычислена в Excel c помощью встроенной функции МОБР().

Результат вычислений

0	0	0,031579	-8,42105	-10,5263
0	0	-0,01489	-14,8865	23,81833
0	0	-0,03349	8,931875	53,59125
1	0	0,013158	-16,8421	-21,0526
0	1	0,065789	-4,21053	-65,2632

Нагрузки, возникающие в стержнях при единичной силе F

Решение

-0,31579

0,148865

0,334945

Тогда величина максимальной силы F из условия прочности каждого стержня может быть рассчитана по формуле:

Расчетные значения сил равны:

F1	63,33333
F2	161,2203
F3	89,56686

Тогда максимальная величина силы F допускаемая конструкцией:

Fmax

63,3 кН