2.10.3. Симметричный канал без памяти

Рассмотрим симметричный канал передачи данных без памяти c конечным числом входных сигналов х₁, когда передаваемый сигнал х₁ с вероятностью 1-p правильно принимается на выходе канала связи, а с вероятностью p искажается, причем все возможные искажения равновероятны: вероятность того, что на выходе будет сигнал х₂, равна для любого х₂  x₁, где N - общее число сигналов. Для такого канала связи пропускная способность c = supI( ₁,₂) достигается в случае, когда на вход поступает последовательность независимых и равномерно распределенных сигналов …,  ₁(-1),  ₁(0),  ₁(1),…; эта пропускная способность выражается формулой

Рассмотрим канал связи, на входе которого сигналы образуют стационарный процесс  ₁ = ₁(t), M[ ₁(t)]² < ∞.

Пусть при прохождении сигнала  ₁ =  ₁(t) он подвергается линейному преобразованию A со спектральной характеристикой  () и, кроме того, на него накладывается аддитивный стационарный гауссов шум  = (t), так что на выходе канала имеется случайный процесс  ₂(t) вида  ₂(t) = a  ₁(t) +  (t).

Предположим также, что ограничения на входной процесс состоит в том, что M[ ₁(t)]²   ² (постоянная ² ограничивает среднюю энергию входного сигнала). Пропускная способность такого канала может быть вычислена по формуле

[в последнем выражении интегрирование ведется в пределах -     для дискретного времени t и в пределах -∞ < <∞ для непрерывного t), где f  () - спектральная плотность гауссова процесса  (t), функция f() имеет вид

а параметр ² определяется из равенства

Нужно сказать, что если функция f() представляет собой спектральную плотность регулярного стационарного гауссова процесса  ₁(t), то этот процесс, рассматриваемый как входной сигнал, обеспечивает максимальную скорость передачи информации: I( ₁, ₂) = C. Однако в наиболее интересных случаях, когда время t меняется непрерывно, функция f() обращается в нуль на тех интервалах частот , где уровень шума сравнительно высок (отличные от нуля значения f() сосредоточены в основном на тех интервалах частот , где уровень шума сравнительно мал), и поэтому не может служить спектральной плотностью регулярного процесса. Более того, если в качестве входного сигнала выбрать процесс  ₁(t) с спектральной плотностью f(), то этот сигнал будет сингулярным и соответствующая скорость передачи информации I( ₁,₂) будет равна нулю, а не максимально возможному значению C, указанному выше.

Тем не менее, приведенные выражения полезны, так как позволяют приблизительно представить вид спектральной плотности f() регулярного входного сигнала  ₁(t), обеспечивающей скорость передачи I(₁, ₂), близкую к максимальному значению C. С практической точки зрения наиболее интересен случай, когда канал связи имеет ограниченную полосу w пропускаемых частот, т.е. когда спектральная характеристика выражается формулой

а проходящий через канал шум имеет равномерный спектр:

В этом случае пропускная способность может быть вычислена по приближенной формуле

.

При этом входной сигнал ₁(t), обеспечивающий скорость передачи информации I(₁, ₂), близкую к максимальной, является гауссовым стационарным процессом со спектральной плотностью f() вида

так что параметры ² и ² имеют следующий физический смысл:

- энергетический уровень входного сигнала,

- энергетический уровень шума.