«Построение рядов технических систем»

Цель работы: научиться построению рядов технических систем.

Порядок выполнения работы:

1. Дать определения понятиям: параметр, ряд, ряд предпочтительных чисел, модульный ряд, ряд золотого сечения, ряд Фибоначчи.

2. Согласно заданию определить первые десять членов рядов: Фибоначчи, модульного, мультипликационного и предпочтительного.

Теоретические основы

Модуль (от лат. modulus - мера) - в архитектуре и строительстве исходная мера, принятая для выражения кратных соотношений размеров комплексов, сооружений и их частей. В качестве модуля принимают меру длины (фут, метр), размер одного из элементов здания или размер строительного изделия. Применение модуля придает комплексам, сооружениям и их частям соизмеримость, облегчает унификацию и стандартизацию строительства.

Принцип (от лат. principium – основа, начало) – основное исходное положение какой-либо системы, теории, мировоззрения, внутренней организации и т.п.

Модульное проектирование предполагает наличие набора конструктивных и функциональных модулей – типоразмерных рядов. При модульном проектировании в основе лежит техническое задание на техническую систему, которая создается путем многочисленных переборов конструктивных модулей (КМ) и функциональных модулей (ФМ). Создание технических систем из уже установленного, экономически обоснованного ряда конструктивных и функциональных модулей позволяет уже на стадии проектирования получить наибольшее снижение стоимости, как проектных работ, так и работ по изготовлению.

Параметр – величина, характеризующая какие-либо свойства технической системы.

Совокупность параметров определяют техническую характеристику системы: производительность, мощность, габаритные размеры и т.п. Последовательность числовых значений такого параметра, в определенном диапазоне его значений, называется параметрическим рядом. Как правило, техническая система характеризуется большим количеством параметров, но можно выделить из них главный параметр (который определяет её функциональное назначение), основные и вспомогательные. Разновидностью параметрического ряда является типоразмерный ряд. Он создается на базе главного параметра, основные параметры которого характеризуют наиболее существенные свойства технической системы, её конструктивно-технологические особенности. Вспомогательные параметры чаще всего носят информационный характер (масса, к.п.д. и т.п.).

Формируя новые технические системы, необходимо исходить из того, что они должны содержать наименьшее число модулей, для обеспечения минимальных затрат на её изготовление и эксплуатацию. Для возможности сборки технической системы необходимо согласовать расположение модуль-узлов как по горизонтали (на одном уровне), так и по вертикали (на других уровнях). Все известные системы согласования параметров базируются на следующих основных принципах: пропорциональности, аддитивности, мультипликативности.

Принцип пропорциональности заключается в том, что основные параметры технической системы пропорциональны одному, считающемуся главным.

Принцип аддитивности (от лат. additivus – прибавляемый, полученный путем сложения) базируется на следующем – параметры Т-системы укладываются в ряд чисел, образуемых путем последовательного сложения.

Принцип мультипликативности (от лат. multiplicus – умножаемый, получаемый путем умножения) заключается в том, что параметры изделия укладываются в ряды чисел, образуемых путем умножения на постоянный множитель.

Метод пропорциональности основан на предположении, что все размеры технической системы связаны друг с другом несколькими функциональными зависимостями. Отсюда – возможность выражать все размеры через главный параметр. Например, для бульдозера можно записать следующие соотношения тягового усилия, веса, параметров отвала через мощность двигателя; для экскаватора - параметры базы, ковша, длины рабочего оборудования и др. через емкость ковша.

Метод относительных размеров применяется в различных вариантах и в различных отраслях. Его недостатком является недостаточная точность и условность применяемых размеров. В настоящее время метод пропорциональности находит широкое применение при выборе параметров простейших технических систем: (болтов, гаек, резцов и т.п.).

Аддитивные системы согласования в конечном итоге используют определенные ряды чисел, наиболее распространенными из которых являются: числа Фибоначчи, золотого сечения, модульные и предпочтительные числа. Теория чисел Фибоначчи (итальянский математик Леонардо Пизанский) была разработана еще в 1202 году. Ряд Фибоначчи – это последовательность чисел, в которой каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих:

Ряды и их свойства весьма разнообразны и зависят от вида первых двух членов. Наиболее широко используются цельно числовой ряд Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144 и т.д. Как видно, значения членов ряда вначале растут медленно, а затем их рост становится стремительным. Например, двенадцатый член ряда а₁₂ = 377, т.е. во много раз превышает значение первого члена а₁ = 1.

Ряд золотого сечения (золотой ряд) представляет собой последовательность чисел, которая подчиняется закону

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка (рис. 2.1) на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Рисунок 2.1 - Схема разбиения отрезка по методу золотого сечения

Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

При создании технических систем в строительстве широко используются модульные системы. В простейшем виде ряд, построенный по модульной системе, представляет ряд, построенный по арифметической прогрессии

,

где - линейный модуль; - член ряда.

Ряды, построенные на основе зависимости арифметической прогрессии, имеют несколько больше расхождений в числах первых членов ряда и сгущенность в зоне больших величин. Иногда значение линейного модуля .

Чтобы уменьшить количество членов больших значений ряда, могут быть использованы модульные системы ступенчато-арифметической прогрессии: одно-, двух- и даже трехмодульные.

Мультипликационные ряды в основном основаны на использовании закономерностей геометрических прогрессий

,

где - знаменатель прогрессии; - номер -го члена ряда.

Изменяя значения первого члена ряда и знаменателя прогрессии , можно создать бесчисленное количество числовых рядов. В настоящее время рекомендуются к использованию численные ряды, у которых в качестве знаменателя ряда используется число равное или .

При создании технических систем на протяжении ряда веков используются численные ряды, у которых знаменателем является число равное . Рассматривая вопрос о выборе численных рядов для создания разнообразных технических систем, анализу подвергались ряды, в которых применялись различные значения у корня .

В 1953 году многими странами было принято к использованию международную систему построения числовых рядов. Эти численные ряды получили название рядов предпочтительных чисел (табл. 2.1).

Ряды предпочтительных чисел (РПЧ) представляют собой десятичные ряды геометрической прогрессии вида , т.е. знаменатель ряда , где - номер ряда = 5; 10; 20; 40 и .

Таблица 2.1 - Основные ряды предпочтительных чисел

Основные ряды				Номер предпочтительного числа	Разность меж-ду числами и расчетными величинами, %
5	10	20	40
1,00 1,60 2,50 4,00 6,30 10,00	1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15 4,00 5,00 6,30 8,00 10,00	1,00 1,25 1,40 1,60 2,00 2,12 2,24 2,50 2,80 3,15 3,55 4,00 4,50 5,00 5,60 6,30 7,10 8,00 9,00 10,00	1,00 1,06 1,12 1,18 1,25 1,32 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,12 2,24 2,36 2,50 2,65 2,80 3,00 3,15 3,35 3,55 3,75 4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 5,30 5,60 6,00 6,30 6,70 7,10 7,50 8,00 8,60 9,00 9,50 10,00	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	0 +0,07 -1,18 -0,71 -0,71 -1,01 -0,88 +0,25 +0,95 +1,26 +1,22 +0,87 +0,42 +0,31 +0,06 -0,48 -0,47 -0,49 -0,65 +0,49 -0,39 +0,01 +0,05 -0,22 +0,47 +0,78 +0,74 +0,39 +0,24 -0,17 -0,42 +0,73 -0,15 +0,25 +0,29 +0,01 +0,71 +1,02 +0,98 +0,63 0

Примечание. Расчетные величины чисел, указанные в таблице, представляют собой величины, вычисленные с точностью до 5-й значащей цифры; при этом погрешность по сравнению с теоретической величиной составляет менее 0,00005

В зависимости от согласования параметров Т-систем необходимо применять тот или иной номер ряда. Например, для назначения главного параметра – емкости ковша одноковшового экскаватора применяется ряд R5, соответственно знаменатель ряда равен и ряд по емкости ковша (м³) представляет 0,15; 0,25; 0,4; 0,65; 1,1; 1,6; 2,5.

При назначении главного параметра самоходных стреловых кранов (грузоподъемности) также принят ряд R5 и грузоподъемность крана (т) представляет ряд 4; 6; 10; 16; 25; 40; 64; 100; 160; 250 и т.д.

Во многих странах существуют национальные стандарты на ряды предпочтительных чисел (РПЧ). В них внесены замечания по степени округления чисел по тем или иным членам ряда, по соединению некоторых положительных качеств ряда с положительными качествами рядов на основе арифметической прогрессии и др.