3. Задачі

Вихідні дані до задач наведено в дод.1.

Задача 1. Кидають два гральних кубики. Визначити ймовірність того, що: а) сума кількості очок не перевищує N; б) добуток кількості очок не перевищує N (див. дод. 1).

Задача 2. Дано вироби чотирьох сортів, причому кількість виробів i-го сорту дорівнює n_i, i = 1, 2, 3, 4. Для контролю навмання беруть m виробів. Визначити ймовірність того, що серед них m₁ першого сорту, m₂, m₃, m₄ другого, третього і четвертого сорту (див. дод. 1).

Задача 3. Серед n лотерейних квитків k-виграшні. Навмання беруть m білетів. Визначити ймовірність того, що серед них l-виграшні (див. дод. 1).

Задача 4. У ліфт k-поверхневого дому сіли n пасажирів (n< k). Кожний незалежно від інших з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому (починаючи з другого) поверсі. Визначити ймовірність того, що: а) усі вийдуть на різних поверхах; б) хоча б двоє вийдуть на одному поверсі. (див. дод. 1).

Задача 5. На відрізок одиничної довжини навмання “кидають” точку. Визначити ймовірність того, що відстань від точки до кінця відрізку (довільного) перевищує величину 1/ k (див. дод. 1).

Задача 6. Моменти початку двох подій навмання розподілено на відрізку часу від T₁ до T₂. Одна з подій триває 10 хв, інша – t хв. Визначити ймовірність, що: а) події “перекриваються” в часі; б) “не перекриваються” (див. дод. 1).

Задача 7. У крузі радіусом R навмання з’являється точка. Визначити ймовірність того, що вона попаде в одну з двох фігур, які не перетинаються, і площа яких дорівнює S₁ і S₂ (див. дод. 1).

Задача 8. У двох партіях k₁ і k₂ відсотків доброякісних виробів відповідно. Навмання беруть по одному виробу з кожної партії. Яка ймовірність виявити серед них: а) один бракований; б) два бракованих; в) один доброякісний і один бракований (див. дод. 1)?

Задача 9. Імовірність того, що ціль уражено одним пострілом першим стрільцем p₁, другим – p₂. Перший зробив n₁, другий – n₂ пострілів. Визначити ймовірність того, ціль не уражено (див. дод. 1).

Задача 10. Два гравці А і В по черзі кидають монету. Виграє той, у кого раніше випаде монета з гербом. Перший кидок робить гравець А, другий – В, третій –А та ін.

1. Обчислити ймовірність зазначеної нижче події.

Варіанти 1–8. Виграв А до k-го кидка.

Варіанти 9–15. Виграв А не пізніше k-го кидка.

Варіанти 16–23. Виграв В до k-го кидка.

Варіанти 24–31. Виграв В не пізніше k-го кидка.

2. Які ймовірності виграшу для кожного гравця при k =  (див. дод. 1)?

Задача 11. Урна містить М кульок з номерами від 1 до М. Кульки витягують по одній без повернення. Розглядають такі події:

А – номери кульок у порядку надходження утворюють послідовність 1, 2, …, М;

В – хоча б один раз буде збігатися номер кульки і порядковий номер витягування;

С – немає жодного збігу номера кульки і порядкового номера витягування.

3. Визначити ймовірності подій А, В, С. Знайти граничні значення ймовірностей при М (див. дод. 1).

Задача 12. З 1000 ламп n_i належать i–й партії, i=1, 2, 3, . У першій партії 6 %, у другій 5 %, у третій 4 % бракованих ламп. Навмання вибирають одну лампу. Обчислити ймовірність того, що цю лампу – браковано (див. дод. 1).

Задача 13. У першій урні – N₁ білих і M₁ чорних кульок, у другій – N₂ білих і M₂ чорних. З першої в другу перекладено K кульок, а потім з другої витягують одну кульку. Визначити ймовірність того, що вибрана з другої урни кулька – біла (див. дод. 1).

Задача 14. В альбомі – k чистих і l “погашених” марок. З них навмання беруть m марок (серед яких можуть бути і чисті, і “погашені”), піддають “спеціальному погашенню” і повертають в альбом. Після цього знову навмання беруть n марок. Визначити ймовірність того, що всі n марок чисті (див. дод. 1).

Задача 15. До магазину надходять однотипні вироби з трьох заводів, причому i-й завод надсилає m_i виробів (i=1,2,3). Серед виробів i-го заводу n_i відсотків першого сорту. Купили один виріб. Він виявився першого сорту. Визначити ймовірність того, що цей виріб надійшов з i-го заводу (див. дод. 1).

Задача 16. Монету підкидають доти, доки “герб” не випаде n разів. Визначити ймовірність того, що цифра випаде m разів (див. дод. 1).

Задача 17. Імовірність виграшу в лотерею на один квиток дорівнює p. Купили n квитків. Знайти найімовірнішу кількість квитків, що виграли, і відповідну ймовірність (див. дод. 1).

Задача 18. На кожний лотерейний квиток з імовірністю p₁ може випасти великий виграш, з імовірністю p₂ – малий виграш і з імовірністю p₃ квиток може бути без виграшним, . Купили n квитків. Визначити ймовірність одержання n₁ великих виграшів і n₂ малих (див. дод. 1).

Задача 19. Імовірність “перебою” в роботі телефонної станції при кожному виклику дорівнює p. Надійшло n викликів. Визначити ймовірність m “перебоїв” (див. дод. 1).

Задача 20. Імовірність настання деякої події в кожному з n незалежних випробувань дорівнює p. Визначити ймовірність того, що кількість m наставань події задовольняє подані нижче нерівності.

Варіанти 1–11: k₁mk₂.

Варіанти 12–21: k₁m.

Варіанти 22–31: mk₂ (див. дод. 1).

Задача 21. Дана щільність розподілу p(x) випадкової величини . Знайти параметр , математичне сподівання М, дисперсію D, функцію розподілу випадкової величини , імовірність виконання нерівності х₁ <  < х₂ (див. дод. 1).

Варіанти 1—8:

Варіанти 9–16:

Варіанти 17–24:

Варіанти 25—31:

Задача 22. Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини  має вигляд Знайти: , математичне сподівання М, дисперсію D, функцію розподілу випадкової величини , імовірність виконання нерівності (див. дод. 1).

Задача 23. За заданим законом розподілу випадкової величини знайти характеристичну функцію (t), математичне сподівання М, дисперсію D випадкової величини  (див. дод. 1).

Варіанти 1—10. Біноміальний закон:

0, 1, …, .

Варіанти 11—20. Закон Паскаля:

0, 1, 2, ….

Варіанти 21—31. Закон Пуассона:

0, 1, 2, ….

Задача 24. За законом розподілу випадкової величини  відшукати характеристичну функцію (t) і у варіантах 1–20 – математичне сподівання М, дисперсію D випадкової величини  (див. дод. 1).

Варіанти 1—10. Випадкова величина  має рівномірний розподіл на відрізку [a, b].

Варіанти 11—20. Випадкова величина  має щільність розподілу

Варіанти 21—31. Випадкову величину  розподілено за нормальним законом з М=a і D = b.

Задача 25. Задано щільність розподілу p_(x) випадкової величини . Знайти щільність розподілу p_(y), математичне сподівання М, дисперсію D випадкової величини , яка являє собою площу однієї із зазначених нижче геометричних фігур.

Варіанти 1—15:

У варіантах 1–5  – площа рівнобічного трикутника зі стороною , у варіантах 6–10  – площа круга радіуса , у варіантах 11 – 15 — площа квадрата зі стороною .

Варіанти 16—31:

.

У варіантах 16–20  – площа рівнобічного трикутника зі стороною , у варіантах 21–25  – площа круга радіусом , у варіантах 26–31 – площа квадрата зі стороною  (див. дод. 1).

Задача 26. Випадкова величина  має щільність розподілу p_(x) із задачі 25. Іншу випадкову величину  пов’язано з  функціональною залежністю  = 2^m +1. Визначити математичне сподівання М, дисперсію D випадкової величини  (див. дод. 1).

Задача 27. Випадкова величина  має щільність розподілу p_(x). Знайти щільність розподілу ймовірностей p_(y) випадкової величини = (x) (див. дод. 1).

Задача 28. За заданою щільністю розподілу p₁(x) випадкової величини ₁ визначити функцію розподілу випадкової величини ₂= (₁). Функцію ₂= (₁) задано графічно. Побудувати графік функції розподілу і, використовуючи дельта–функцію, дати вираз для щільності розподілу p₂(y) випадкової величини ₂.

Варіанти 1 – 6:

Варіанти 7 – 15:

Варіанти 16 – 23:

Варіанти 24 – 31:

(див. дод. 1).

Задача 29. За заданою щільністю розподілу p_(x₁,x₂) двовимірної випадкової величини (₁,₂) знайти щільність розподілу p_(y₁,y₂) двовимірної випадкової величини (₁,₂), яку пов’язано взаємооднозначно з (₁,₂) зазначеними нижче співвідношеннями.

Варіанти 1—15:

₁= a₁cos n₂, ₂= b₁sin n₂,

Варіанти 16—31:

₁= a tg n₁, ₂= b tg n₂,

(див. дод. 1).

Задача 30. Двовимірна випадкова величина (,) має рівномірний розподіл імовірностей у трикутній області ABC, тобто

де S – площа ABC.

Визначити маргінальні щільності розподілу p_(x) і p_(y) випадкових величин  і , математичні сподівання М, М, дисперсії D, D, коефіцієнт кореляції r. Чи є випадкові величини  і  незалежними (див. дод. 1, у вихідних даних зазначені декартові координати вершин ABC )?

Задача 31. Використовуючи нерівність Чебишова, визначити ймовірність того, що випадкова величина  відхиляється від свого математичного сподівання М менше ніж на N, де N – номер варіанта;  = – середнє квадратичне відхилення випадкової величини  (див. дод. 1).

Задача 32. Випадкова величина _i з однаковою ймовірністю набуває одне з двох значень: i^ або -i^. З’ясувати, чи задовольняє послідовність ₁, ₂, ..., _i, ... попарно незалежних випадкових величин закон великих чисел:

Розв’язати задачу для двох значень параметра : ₁ і ₂ (див. дод. 1).

Задача 33. Розглянемо n незалежних випадкових величин ₁, ₂, ..., _n , які рівномірно розподілено на відрізку [0,]. Знайти ймовірність того, що їх сума знаходиться між x₁ і x₂, тобто (див. дод. 1).

Задача 34. Відомо, що випадкова величина  має розподіл Пуассона , невідомим є параметр a. Використовуючи зазначений нижче метод одержання точкових оцінок, знайти за реалізацією вибірки (x₁, x₂, … , x₈) значення a^* невідомого параметра a.

Варіанти 1–15. Метод максимальної правдоподібності.

Варіанти 16–31. Метод моментів (див. дод. 1).

Задача 35. Відомо, що випадкова величина  має біноміальний розподіл невідомим є параметр p. Використовуючи зазначений нижче метод одержання точкових оцінок, знайти за реалізацією вибірки (x₁, x₂, …, x₈) значення p ^* невідомого параметра p.

Варіанти 1–15. Метод моментів.

Варіанти 16–31. Метод максимальної правдоподібності (див. дод. 1).

Задача 36. Випадкова величина  має нормальний розподіл з невідомим математичним сподіванням a і відомою дисперсією ². За вибіркою (x₁, x₂, …, x_n) об’єму n обчислене вибіркове середнє Визначити довірчий інтервал для невідомого параметра a, що відповідає заданій довірчій імовірності  (див. дод. 1).

Задача 37. Випадкова величина  має нормальний розподіл з невідомим математичним сподіванням a і дисперсією ². За вибіркою (x₁, x₂, …, x_n) об’єму n обчислені оцінки

;

(22)

невідомих параметрів. Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання a, що відповідає заданій довірчій імовірності  (див. дод. 1).

Задача 38. Внаслідок n експериментів одержано незсунену оцінку (22) для дисперсії нормальної випадкової величини. Знайти довірчий інтервал для дисперсії, якщо довірча ймовірність  (див. дод. 1).

Задача 39. У серії з n пострілів по мішені спостережено m попадань. Знайти довірчий інтервал для ймовірності p попадання у мішень при довірчій імовірності  = = 0,95 (див. дод. 1).

Задача 40. У серії з n експериментів подія А не відбулася жодного разу. Визначити кількість експериментів n, за яких верхня довірча межа для ймовірності P(A) дорівнює заданому числу p₁. Довірча ймовірність дорівнює 0,95 (див. дод. 1).

Задача 41. Для контролю взято 200 вузлів, які складено на учнівському конвеєрі. Кількість вузлів m_i, при складанні яких виконали i операцій, зведено в таблицю:

i	0	1	2	3	4	5	6	7
mi	41	62	45	22	16	8	4	2	Всього 200

Чи погоджено одержані результати з розподілом Пуассона ( де  – випадкова кількість операцій, що виконали) за критерієм ² на рівні значущості ? Розв’язати задачу для заданого значення параметра a і для випадку, коли параметр a визначають за вибіркою (див. дод. 1, вихідні дані).