1.14. Довірчі інтервали

Окрім точкових оцінок використовують так звані довірчі інтервали: зазначають не одну точку *, а інтервал до якого із заданою ймовірністю належить справжнє значення параметра :

(16)

Число , 0<  <1 називається довірчою ймовірністю і характеризує надійність одержаної оцінки: чим ближче  до одиниці, тим надійніша оцінка (зазвичай беруть  = = 0,9; 0,95 або 0,99).

Величини й називаються довірчими межами. Вони є функціями вибіркових значень = (Х₁, Х₂, …, Х_п), = ( Х₁, Х_2,, …, Х_п), і, отже є випадковими величинами.

Інтервал ( , ) з випадковими межами = (Х₁, Х_2,, …, Х_п), = ( Х₁, Х_2,, …, Х_п), які за довільним припустимим значенням  задовольняють співвідношення (16), називається довірчим інтервалом для невідомого параметра .

Приклади довірчих інтервалів

1. Довірчий інтервал для математичного сподівання a нормальної випадкової величини за відомої дисперсії ² має вигляд

Тут величину u_ визначають за заданою довірчою ймовірністю  за табл. 5 (див. дод. 2).

2. Довірчий інтервал для математичного сподівання a нормальної випадкової величини за невідомої дисперсії ² має вигляд

де оцінку ^* обчислюють за формулою:

(17)

а величину t_ визначають за заданою довірчою ймовірністю  та обємом вибірки n за табл. 6 (див. дод. 2).

3. Довірчий інтервал для дисперсії ² нормальної випадкової величини має вигляд

де n – обєм вибірки; ^* –оцінка величини , яку визначають за формулою (17); і – корені рівнянь

(18)

в яких підінтегральна функція p_n–1(x) являє собою щільність розподілу  — квадрат з n–1 степенями вільності.

Рівняння (18) за заданою довірчою імовірністю  розв’язуються за табл. 7 (див. дод. 2). За визначенням за цією таблицею використовують  = n–1 і за визначенням –  = n–1; .

4. Нехай n – кількість незалежних випробувань, m – кількість наставання події A у кожному окремому випробуванні. Розглянемо випадок, коли n достатньо велике, а значення p не дуже близьке до нуля або одиниці так, що можна використати асимптотику Муавра–Лапласа (див. п.1.6) Довірчий інтервал для p має вигляд р₁< р< р₂, де

u_ – визначають за заданою довірчою ймовірністю  за табл. 5 (див. дод. 2).

Розглянемо окремо випадок m = 0. Нижня довірча межа дорівнює нулеві, верхня – . Аналогічно при m = n нижня і верхня довірчі межі дорівнюють відповідно та одиниці.

1.15. Статистична перевірка гіпотез

Випадкова величина X, яку застосовують для статистичної перевірки гіпотези, називають критерієм. Іноді терміном “критерій” позначають не тільки випадкову величину X, але і всю процедуру перевірки. При цьому X називають статистикою критерію.

Перевірка гіпотези полягає в тому, що коли спостережене значення критерію належить деякій визначеній множині S, тобто настає подія {X  S}, то основна гіпотеза H₀ відкидається. Така множина S, називається критичною множиною (для множини H₀).

Подія {X  S}, яка полягає в тому, що основна гіпотеза відкидається, коли вона є істинною, називається помилкою першого роду. Подія {X  S}, яка полягає в тому, що основна гіпотеза H₀ приймається, коли вірна одна з альтернативних гіпотез H_, називається помилкою другого роду.

Імовірності P_I і P_II помилок першого і другого роду обчислюють у припущеннях про істинність різних гіпотез – основної H₀ і альтернативної H_, відповідно:

Імовірність помилки другого роду, а також імовірність

(19)

протилежної події пов’язані з конкретною альтернативною гіпотезою H_, тобто можуть залежати від деякого параметра .

Функція (19) параметра , що дорівнює ймовірності відкинути гіпотезу H₀, коли вірна гіпотеза H_, називається функцією потужності критерію.