1.10. Числові характеристики випадкових величин
Нехай випадкова величина = () є функцією випадкової величини . Якщо потрібно визначити лише числові характеристики випадкової величини , можна не знаходити її закон розподілу. Числові характеристики виражають через закон розподілу випадкового аргумента . Якщо має щільність розподілу p(x), то математичне сподівання М і дисперсія D дорівнюють відповідно
1.11. Закон великих чисел
Під законом великих чисел розуміють ряд теорем, поєднаних ідеєю стійкості середніх результатів за великої кількості випробувань.
Теорема Чебишова. Нехай випадкові величини 1, 2, …,n– незалежні і Di c, і = 1,2,…, де с – деяка стала. Тоді для кожного > 0 виконується граничне співвідношення
(13)
Теорема Маркова. Нехай
випадкові величини 1,
2,
…,n,
…
задовольняють умови
при n.
Тоді для кожного
> 0 виконується граничне
співвідношення (13).
Теорема Бернуллі. Нехай m – кількість успіхів у n незалежних випробуваннях, р – ймовірність успіху у кожному випробуванні. Тоді для кожного > 0
Доведення цих теорем базується
на нерівності Чебишова
що має місце для кожного
> 0 та кожної випадкової
величини, яка має скінченне математичне
сподівання М
і скінченну дисперсію D.
1.12. Центральна гранична теорема для однаково розподілених випадкових доданків
Нехай
1,
2,
…,n,
…
- незалежні однаково розподілені
випадкові величини, що мають математичне
сподівання Мi
=
a і
скінченну дисперсію Di
=
2.
Тоді
при n
функція розподілу нормованої суми
збігається до функції розподілу
нормальної випадкової величини з
параметрами (0,1), тобто для кожного x
Звідси одержуємо наближену формулу
що здійснюється при достатньо великих n. Вона виражає ймовірність виконання нерівності x1<n<x2 через інтеграл імовірності (4) (див. табл. 2, дод. 2).
1.13. Точкові оцінки параметрів розподілу
Вибіркою називається n–вимірна випадкова величина (X1, X2, …, Xn) з незалежними однаково розподіленими компонентами Xi, і = 1, 2,…n. Число n називається об’ємом вибірки.
Довільна функція h=h (X1, X2, …, Xn) вибіркових значень називається статистикою.
Нехай – невідомий параметр розподілу випадкової величини . Статистика
* = * (X1, X2, …, Xn), (14)
яку використовують у наближеній рівності , називається оцінкою (точковою оцінкою) невідомого параметра.
Класифікація оцінок. Бажано, щоб оцінка (14) не давала систематичного завищення або заниження результатів, тобто щоб М* (X1, X2, …, Xn)= .
Оцінка, що має зазначену властивість, називається незсуненою. В іншому випадку вона називається зсуненою.
Якщо при n оцінка * збігається за ймовірністю до справжнього значення параметра :
то оцінка * називається спроможною. Спроможність означає, що зі збільшенням об’єму вибірки якість оцінки поліпшується.
Якщо оцінки 1* і 2* задовольняють нерівність М (1* – )2 < M (2* – )2, то оцінка 1* називається більш ефективною, ніж 2*. Якщо є оцінка * — більш ефективна, ніж довільна інша, то вона називається ефективною.
Методи одержання оцінок. 1. Метод моментів. Нехай – неперервна випадкова величина з щільністю розподілу p(x, ), що залежить від одновимірного невідомого параметра . Тоді математичне сподівання М є функцією :
Вибіркове
середнє
набуває значення, близьке до М.
Це дає змогу записати рівняння для
визначення невідомого параметра :
Метод моментів аналогічно застосовують до дискретних випадкових величин.
2. Метод максимальної правдоподібності. Нехай – дискретна випадкова величина з розподілом
i = 1,
2, …, k,
де ai
– можливі значення випадкової величини
;
pi()
– відповідні ймовірності, що залежать
від невідомого параметра ,
причому
для довільного припустимого .
Множина значень ai випадкової величини може бути не тільки скінченною, але й зліченною.
Якщо серед вибіркових значень (x1, x2, …, xn ), число ai трапляється ni разів (i= 1, 2, …, n), то для ймовірності L(x1, x2, …, xn;) одержання даної вибірки маємо вираз:
(15)
Функція (15) параметра називається функцією правдоподібності, а величина *, за якої функція L(x1, x2, …, xn;) набуває максимального значення, – оцінкою максимальної правдоподібності невідомого параметра .
Для неперервної випадкової величини зі щільністю розподілу p(x,), що залежить від невідомого параметра , метод максимальної правдоподібності залишається спроможним. Відмінність полягає в тому, що тепер функцію правдоподібності L (х1, х2, …, хn; ) = р(х1, ) р(х2, ) ... p(хn, ) виражають не через імовірність одержання даної вибірки, а через щільність розподілу n–вимірної випадкової величини (X1, X2, …, Xn), що залежить від параметра . При цьому є аргументом, значення x1, x2, …, xn вважають фіксованими.