Властивості коефіцієнта кореляції
Модуль коефіцієнта кореляції не перевищує одиниці, r1.
Якщо і – незалежні випадкові величини, то r = 0. Проте з умови r = 0 (некорельованість випадкових величин і ) не виходить незалежність і .
Якщо і пов’язані лінійною залежністю, то r=1.
Властивості математичного сподівання і дисперсії
Математичне сподівання сталої дорівнює цій сталій, тобто Мс = С, С = const.
Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто М (+) = М+М (припускається, що М і М існують).
Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто М = ММ (припускається, що М і М існують).
Дисперсія сталої дорівнює нулеві, тобто Dс = 0, С = const.
Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій, тобто D(+) = D+D (припускається, що D і D існують ).
1.8. Характеристичні функції
Характеристичною функцією (x) випадкової величини називається марема
тичне сподівання випадкової величини e it :
,
t
– дійсний параметр.
Для дискретної випадкової величини і для неперервної відповідно маємо:
Щільність розподілу p(x) випадкової величини виражають через характеристичну функцію (x) за допомогою оберненого перетворення Фур’є
Властивості характеристичних функцій
Характеристичну функцію (x) випадкової величини визначено для кожного t (–,), причому (t)1, (0)=1.
При зміні знака аргумента значення характеристичної функції змінюється на комплексно-спряжене
Якщо випадкові величини пов’язані співвідношенням 2 = k1 + b, то
Якщо і – незалежні випадкові величини, то
Якщо є М, то М=’(0)/i; взагалі, якщо є Мk, то Мk = i–k(k)(0).
Відповідність між множиною функцій і множиною характеристичних функцій, що встановлюють формулою
є взаємно однозначною (теорема єдиності)
і неперервною (гранична теорема Леві).
1.9. Закони розподілу функцій випадкових аргументів
Розглянемо неперервну випадкову величину зі щільністю розподілу p(x) та іншу випадкову величину , пов’язану з нею функціональною залежністю =(). Функцію F(y) випадкової величини виражають через щільність розподілу p(x) випадкового аргумента :
(9)
де k(y) – проміжки, в яких виконується нерівність (x)<y. Підсумування у формулі (9) поширюється на всі зазначені проміжки. Межі проміжків k(y) залежать від y і при заданому конкретному вигляді функції y = (x) можна виразити як явні функції y.
Щільність розподілу p(x) випадкової величини (якщо вона є) одержують шляхом диференціювання функції розподілу:
(10)
У простому випадку монотонної функції = () використання формул (9) і (10) приводить до виразу
де (y) – функція є оберненою до функції y = (x).
Розглянемо окремо випадок, коли функція розподілу F(y) має точки розриву y1, y2, …,yn зі стрибками р1, р2, …, рn. Це означає існування значень випадкової величини (збіжних з точками розриву y1, y2, …, yn), яким відповідають ненульові ймовірності р1 , р2, …, рn. У даному випадку щільність розподілу ймовірностей в точках y1, y2,…, yn перетворюється на нескінченність. Математична ідеалізація цього явища спирається на використання дельта-функції (y), яка не є функцією у звичайному розумінні, а являє собою так звану узагальнену функцію. Розглядатимемо (y) як похідну функції одиничного стрибка
У класичному аналізі функція (y) недиференційована в точці y = 0, однак у теорії узагальнених функцій цього обмеження немає. Тоді
(11)
Зобразимо функцію F(y) у вигляді
де
– неперервна (“замкнена”) функція.
Згідно з формулами (10) і (11) одержуємо:
де
Нехай тепер (1,2), (1,2) – двовимірні випадкові величини, причому
(12)
де функції f1 і f2 припускають неперервно диференційовними і відображення (12) – взаємно однозначні, тобто є функції 1, 2, такі, що 1 = 1(1, 2), 2 = 2(1, 2). Тоді щільність розподілу p(y1,y2) двовимірної випадкової величини (1, 2) виражають через щільність розподілу p(x1,x2) випадкової величини (1, 2):
