МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Методичні вказівки

до виконання індивідуальних завдань з дисципліни “Ймовірнісні процеси і математична статистика

В автоматизованих системах”

для студентів спеціальності

“Інформаційні управляючі системи та технології”

Затверджено Методичною радою нтуу “кпі”

Київ

“Політехніка”

2002

Методичні вказівки до виконання індивідуальних завдань з дисципліни “Ймовірнісні процеси і математична статистика в автоматизованих системах” для студентів спеціальності “Інформаційні управляючі системи та технології” /Уклад.: І.Є. Галицька, О.Г. Жданова, В.М. Кузнєцов, Е.Й. Савустьяненко. –К.: ІВЦ “Політехніка”, 2002 – 44 с.

Затверджено Методичною радою НТУУ “КПІ”

(Протокол № 1 від 20. 09. 2001 р.)

Укладачі: І.Є. Галицька

О.Г. Жданова

В.М. Кузнєцов

Е.Й. Савустьяненко

Відповідальний редактор В. О. Тихонов

Рецензенти: С. М. Гриша

В. М. Томашевський

1. доВідковий теоретичний матеріал

1.1. Класичне означення ймовірності

Імовірністю події А у схемі скінченної кількості однаково можливих елементарних подій називається відношення

,

де m(A) – кількість елементарних подій, що сприяють події А; n – загальна кількість елементарних подій.

1.2. Елементи комбінаторики

Припустимо, що необхідно виконати послідовно k дій. Коли першу дію можна виконати n₁ способами, другу – n₂ способами, третю – n₃ способами і так до k-ї дії, яку можна виконати n_k способами, то всі k дій разом можна виконати n₁ n₂ n₃ n_k способами, у цьому полягає основний принцип комбінаторики (правило множення).

Нехай  – деяка множина з n елементів. Деяка k-елементна підмножина множини з n елементів називається комбінацією з n елементів по k. Порядок елементів у підмножині не є істотним. Кількість k-елементних підмножин множини позначають .

Наприклад, коли  = {а, b, с}, тоді {а}, {b}, {с} – усі можливі комбінації з 3 по 1 (отже, =3); {а, b}, {а, с}, {b, с} — усі можливі комбінації з 3 по 2 (отже, =3).

Кількість комбінацій з n елементів по k обчислюють за формулою

Множину називають упорядкованою, коли кожному елементу цієї множини відповідає деяке число (номер елемента) від 1 до n (n – кількість елементів множини), де різним елементам відповідають різні числа.

Різноманітні упорядковані множини, що відрізняються лише порядком елементів (тобто можна одержати з тієї самої множини), називають перестановками цієї множини. Наприклад, перестановки множини  = {а, b, с} мають вигляд:

{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c},

{b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}.

Кількість перестановок Р_n множини, що містить n елементів, обчислюють за формулою Р_n = n!.

Розглянемо упорядковані підмножини даної множини . Кожну її підмножину може бути упорядковано деяким можливим способом. Кількість усіх k-елементних підмножин множини  дорівнює . Кожну таку підмножину можна упорядкувати k! способами. Таким чином, одержуємо всі упорядковані k-елементні підмножини множини . Кількість упорядкованих k-елементних підмножин множини, що містить n елементів, позначають через

Упорядковані k-елементні підмножини множини з n елементів називаються розміщенням з n елементів по k. Різні розміщення з n по k відрізняються або елементами, або їх порядком.

Нехай k₁, k₂, … k_m – цілі невід’ємні числа, причому Подамо множину А з n елементів у вигляді суми m множин А₁, А₂, ..., А_m, що містять відповідно k₁, k₂, … k_m елементів. Позначимо кількість різних способів такого розбиття на групи через (k₁, k₂, ..., k_m). Її обчислюють за формулою:

Наведемо комбінаторну схему, що зустрічається при розв’язуванні задач: n-елементна множина А є сумою множин А₁, А₂, ..., А_k, кількість елементів яких дорівнює відповідно п₁, п₂ ..., п_k В – m-елементна підмножина множини А, що містить т₁ елементів з A₁, m₂ з A₂, ..., т_k елементів з А_k . Кількість способів, якими можна вибирати таку множину В з А (множини неупорядковано), за основним принципом комбінаторики дорівнює