2. Поняття випадкового процесу. Класифікація випадкових процесів

Розглянемо стохастичний експеримент. Нехай – простір елементарних подій і t – параметр часу, який пробігає множину значень .

Випадковим процесом називають функцію двох змінних

, де .

Для кожного значення t функція є функцію тільки отже, представляє собою випадкову величину. Цю величину називають перерізом випадкового процесу у точці .

Для кожного фіксованого (тобто для кожної елементарної події) залежить від і є невипадковою функцією. Її називають траєкторією або реалізацією випадкового процесу.

Виходячи з цього означення, випадковий процес можна розглядати як сукупність випадкових величин, що залежать від параметра , або як сукупність траєкторій процесу .

Випадковий процес вважають заданим, якщо для будь-якого скінченого набору випадкових величин визначена сумісна функція розподілу

.

Набір функцій називають скінченновимірними розподілами процесу .

Прикладами випадкових процесів можуть бути: процес функціонування ЕОМ (залежить від ряду випадкових, завчасно непередбачуваних факторів, таких як надходження замовлень на ЕОМ і вигляд цих замовлень, випадкові виходи ЕОМ з ладу); процес обслуговування клієнтів в ремонтній майстерні (потік заявок, які надходять зі сторони клієнтів, має випадковий характер); процес виконання плану постачання групи підприємств і т.п.

Характеристики випадкових процесів аналогічні числовим характеристикам випадкових величин (математичне сподівання, дисперсія, кореляційна матриця системи випадкових величин).

На відміну від числових характеристик випадкових величин, які становлять певні числа, характеристики випадкового процесу в загальному випадку становлять функції.

Математичне сподівання випадкового процесу визначається наступним чином.

Розглянемо переріз випадкового процесу при фіксованому . В цьому перерізі ми маємо звичайну випадкову величину. Визначимо її математичне сподівання. Очевидно, в загальному випадку воно залежить від , тобто являє деяку функцію :

.

Таким чином, математичним сподіванням випадкового процесу називається невипадкова функція , яка при кожному значенні аргумента дорівнює математичному сподіванню перерізу випадкового процесу.

Рис. 1.

За смислом математичне сподівання випадкового процесу є деяка "середня" функція, навколо якої групуються різноманітні траєкторії випадкового процесу (див. рис. 1).

Аналогічно визначається дисперсія випадкового процесу. Дисперсією випадкового процесу називається невипадкова функція , значення якої для кожного фіксованого дорівнює дисперсії відповідного перерізу випадко­вого процесу

.

Дисперсія випадкового процесу при кожному характеризує розсіювання можливих реалізацій випадкового процесу відносно середнього.

Математичне сподівання і дисперсія становлять важливі характеристики випадкового процесу.

Рис. 2.

Рис. 3.

Однак для описування основних особливостей випадкових процесів цих характеристик недостатньо. На рисунках 2 і 3 зображені процеси, які мають однакове математичне сподівання і дисперсію, але внутрішня структура обох процесів різна. Це не уловлює ні математичне сподівання, ні дисперсія.

Ці відмінності уловлює кореляційна функція випадкового процесу

яка для кожної пари значень і дорівнює кореляційному моменту відповідних перерізів випадкового процесу.

Рис. 3.

Кореляційна функція характеризує ступінь (міру) лінійної залежності між різними перерізами випадкового процесу.

Основні ознаки, за якими розрізняються випадкові процеси, стосуються природи простору станів , параметра часу і відношень залежності між випадковими величинами .

Простір станів – це простір, якому належать всі можливі значення, що приймають випадкові величини . У випадку, коли скінчена або злічена множина, процес називають процесом з дискретним простором станів; якщо співпадає з проміжком дійсної осі – процесом з неперервним простором станів.

Якщо , то будемо говорити, що є процесом з дискретним часом, якщо , то будемо називати процесом з неперервним часом.

Важливою рисою випадкового процесу є залежність між випадковими величинами , . Характер цієї залежності визначається заданням скінченновимірних розподілів. Для різних випадкових процесів скінченновимірні розподіли можуть бути виражені через інші розподіли, які пов’язані з процесом.

Опишемо тепер коротко деякі класичні типи випадкових процесів, що характеризуються різними видами залежності між і які використовуються при побудові математичних моделей масового обслуговування та надійності.