Дніпропетровський державний технічний

університет залізничного транспорту

Кафедра "Прикладна математика"

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання контрольних робіт з дисципліни

“Математичні моделі в розрахунках на ЕОМ”

Для студентів безвідривної

форми навчання

Укладач: доц. Послайко Н.І.

Дніпропетровськ

2001 р.

Дніпропетровський державний технічний

університет залізничного транспорту

Кафедра "Прикладна математика"

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання контрольних робіт з дисципліни

“Математичні моделі в розрахунках на ЕОМ”

Для студентів безвідривної

форми навчання

Зав. кафедрою "ПМ"

д.т.н., професор А.А.Босов Укладач: доц. Послайко Н.І.

" 5 " жовтня 1998 р.

Дніпропетровськ

2001 р.

Укладач: доцент Послайко Надія Іванівна

519.21 (075)

Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з дисципліни “Математичні моделі в розрахунках на ЕОМ” / Дніпропетровський державний технічний університет залізничного транспорту; Укл. Н.І. Послайко. Дніпропетровськ, 2000. 29 с.

Контрольні роботи містять задачі, розв’язування яких зводиться до використання математичних моделей масового обслуговування та надійності. Знаходження характеристик систем, що описуються вказаними моделями, у випадку великого числа станів без використання ПЕОМ неефективне або навіть неможливе. При виконанні контрольних робіт студентам надається розроблене автором методичних вказівок програмне забезпечення, що працює в діалоговому режимі, та програмне забезпечення ПЕОМ.

Студент повинен для кожної запропонованої задачі самостійно підібрати математичну модель; навести теоретичні обгрунтування вибору певної моделі та виписати розрахункові формули для обчислювання характеристик згідно з умовою задачі; розв’язати кожну задачу на ПЕОМ та проаналізувати результати.

Методичні вказівки містять теоретичні відомості про математичне моделювання та його етапи, про класи випадкових процесів та основні твердження відносно марковських процесів з неперервним часом та дискретним простором станів. Останні процеси широко використовуються при розв’язуванні задач масового обслуговування та надійності. Подаються ілюстративні приклади розв’язування задач, аналогічних наведеним в контрольних роботах, та завдання до контрольних робіт.

Іл. 14. Список літератури - 5 назв.

Друкується за рішенням кафедри.

Рецензенти: доц. Зайцев В.Г. (ДДУ)

доц. Бабич Ю.П. (ДІІТ)

Редактор Т.В. Мацкевич

Підписано до друку 12.07.2000. Формат 60*84/16. Папір для множних апаратів. Офсетний друк. Ум. друк. арк. 1,7. Обл. – видавн. арк. 1,8. Тираж 50 прим. Зам. 119. Видавн. 10. Безкоштовно.

Дніпропетровський державний технічний університет залізничного транспорту.

Адреса університету та дільниці оперативної поліграфії:

49010, Дніпропетровськ, 10, вул. Акад. В.А. Лазаряна, 2.

ЗМІСТ

1. Моделі та моделювання 4

2. Поняття випадкового процесу. Класифікація випадкових процесів 5

3. Основні твердження відносно марковських процесів з неперервним часом та дискретним простором станів 9

4. Граничні ймовірності станів 13

5. Процес загибелі та народження 14

6. Поняття системи масового обслуговування. Типи систем масового обслуговування та їх характеристики 16

7. Система масового обслуговування з відмовами 18

8. Система масового обслуговування з обмеженою чергою 20

9. Система масового обслуговування з необмеженою чергою 22

10.Завдання до контрольних робіт 26

1. Моделі та моделювання

Аналіз і розробку будь-яких складних систем здійснюють за допомогою моделей.

Під моделлю розуміють наближене відображення реального процесу, яке дозволяє виявляти основні закономірності цього процесу.

Модель простіша, ніж досліджуваний процес. Як правило, в модель включається менше факторів, ніж їх існує насправді. Але, не дивлячись на наближене відображення процесу, модель повинна описувати його основні закономірності.

Виділяють три типи моделей:

1. моделі подібності;

2. аналогові;

3. математичні.

Моделі подібності повторюють досліджуваний процес в інших масштабах (модель літака, атома і т.д.). Ці моделі знаходять застосування в фізиці, хімії. Але вони не дають можливості досліджувати внутрішню структуру об’єкта, вони незручні для дослідження динаміки процесів.

Аналогові моделі використовують аналогію між процесами, які протікають в різних фізичних середовищах або системах. Так, наприклад, широко використовують електричні аналогові моделі для вивчення теплових, газових і рідинних потоків, які підлягають ідентичним законам. Недолік цих моделей у тому, що їх важко перебудувати зі зміною параметрів процесу.

Найбільш гнучкі математичні моделі. Вони становлять сукупність математичних співвідношень, які описують взаємозв’язки між окремими параметрами системи. Головне їх достоїнство в тому, що їх легко перебудувати, вони дозволяють вивчати внутрішню структуру процесів, питання статики та динаміки.

Надалі нас будуть цікавити саме математичні моделі.

Етапи математичного моделювання

Математичне моделювання включає ряд етапів, порядок виконання яких змінюється в залежності від конкретних обставин і результатів моделювання:

1. постановка задачі;

2. побудова математичної моделі системи або процесу;

3. розв’язання задачі;

4. перевірка моделі на адекватність;

5. коректування моделі;

6. реалізація розв’язку.

Охарактеризуємо більш докладно кожен етап.

1. При постановці задачі визначаються всі параметри досліджуваної системи, вказуються найбільш істотні параметри і неістотні, тобто проводиться параметризація задачі, установлюються основні взаємозв’язки між параметрами, основні умови, які характеризують дану задачу і обмеження на параметри. Параметри розділяються на керовані та некеровані. Вказують ціль розв’язку задачі, або цілі (їх може бути декілька), вказуються можливі шляхи досягнення цих цілей.

2. Побудова математичної моделі полягає в тому, що вводяться математичні символи для відображення всіх параметрів. На основі вивчення постановки задачі установлюються різні взаємозв’язки, які описуються на математичній мові. Записуються у вигляді математичних співвідношень обмеження на параметри, умови роботи системи і таке інше. Формулюється функція цілі, яка залежить від параметрів системи.

3. Після побудови математичної моделі переходимо до розв’язування задачі. Тут виникає питання, який метод (або методи) вибрати для розв’язування задачі. Бувають, як відомо, аналітичні, чисельні та статистичні методи.

4. Після розв’язування задачі проводимо перевірку моделі шляхом порівняння результатів розв’язку з даними, які одержані без використання цієї моделі. Якщо дані співпадають з допустимою точністю, то вважаємо, що модель адекватна досліджуваному процесу. Якщо ж дані істотно відрізняються, то проводимо коректування моделі.

5. Коректування моделі проводиться з використанням різних прийомів. Можна повернутися на різні етапи, які передували коректуванню, наприклад, до постановки задачі (ті змінні, які ми вважали істотними, можуть виявитися неістотними і навпаки). Зв’язки між змінними можуть не відповідати тим, які передбачували. Наприклад, зв’язок вважали поліномом першого степеня, а він виявився не таким і т.д. Межі змінювання параметрів можуть бути встановлені невірно, і може трапитись, що метод розв’язування задачі непідходящий, не забезпечує потрібних результатів.

6. Після коректування переходять до практичного використання цієї моделі. На основі моделі проводяться експерименти, щоб виявити структуру і закономірності системи. Модель використовується для прогнозування розвитку системи. Моделі оптимального планування та керування використовуються для вибору найкращої стратегії поведінки системи і таке інше.

Метод математичного моделювання, який зводить дослідження явищ зовнішнього світу до математичних задач, займає провідне місце серед інших методів дослідження, особливо в зв’язку з появою ЕОМ.

Для розв’язування задач, які пропонуються в контрольних роботах, застосовуються математичні моделі систем масового обслуговування та теорії надійності. Математична теорія масового обслуговування та теорія надійності використовують, головним чином, апарат теорії ймовірностей та випадкових процесів.