Числовые характеристики

Понятие математического ожидания М (Х) и дисперсии D(X) введенные ранее дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

• Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

_+∞

M(X)= ∫ x•f(x)dx,

^-∞

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

• Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

_+∞

D(X)= ∫ (х-М(х)²)•f(x)dx, или

^-∞

_+∞

D(X)= ∫ х²•f(x)dx- (М(х))²

^-∞

• Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача №3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

0 при х≤0,

f(х)= х/3 при 0<х≤2,

1/3 при 2<х≤3,

0 при х>3.

Найти M(X),D(X),σ(Х), а также P(1<х<5)

Решение

_{+∞ 0 2 2 +∞ 2 3}

M(X)= ∫ х•f(x)dx=∫ х•0dx+∫ х•х/3 dx+∫ х/3dx+∫ 0•х•dx=1/3∫х²dx+1/3∫ хdx=

^-∞ _{0 3} ² ₃ ^{0 3 3 0 2}

= x³/9 + х²/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

^{2 2}

_{+∞ 2 3 2 3}

D(X)= ∫ х²• f(x)dx-(М(х))²=∫ х²•х/3•dx+∫1/3х² dx=(31/18)²=х⁴/12 +х³/9 -

^{-∞ 0 2 0 2}

- (31/18)²=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)²=31/9- (31/18)²==31/9(1-31/36)=155/324,

_{5 2 3 5 2 3}

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х²/6 +1/3х =

^{1 1 2 3 1 2}

= 4/6-1/6+1-2/3=5/6.