2. Расчет двухшарнирной арки

Двухшарнирная арка - это криволинейный брус, лежащий на двух неподвижных шарнирных опорах (рис.2.12а). Разновидностью этой расчетной схемы является арка с затяжкой (рис.2.12b)..

Рис.2.15

Такие арки один раз статически неопределимы: лишними связями будет горизонтальный опорный стержень или затяжка.

Основные системы при расчете методом сил соответственно имеют вид (рис.2.13 а и 2.13b)

Рис.2.13

Двухшарнирную арку можно рассматривать как частный случай арки с бесконечно жесткой на растяжение затяжкой. Поэтому рассмотрим ход расчета арки с затяжкой (Рис.2.13b).

Неизвестное усилие Х₁ определяется из канонического уравнения метода сил

(11.2)

В общем случае коэффициент и грузовой член должны вычисляться по полной формуле Мора

( 12.2 )

Для пологих арок эти формулы могут быть упрощены.Влиянием поперечных сил пренебрегают всегда. В не очень пологих арках пренебрегают и влиянием на перемещения продольных сил N.

, ( 13.2 )

Здесь M₁ = - y - изгибающий момент в арке от силы X₁=1, y – ординаты в выбранной системе координат, определяющие кривую очертания арки.

M_p - изгибающий момент в балке с пролетом, равным пролету арки от заданной нагрузки,

l - пролет арки, EI - жесткость арки на изгиб, E₃A₃ - жесткость затяжки, 1^.l/E₃А₃ - удлинение затяжки от силы X₁=1

Вычисление коэффициента и свободного члена этого уравнения осложняется тем, что интегрирование ведется вдоль криволинейной оси арки и обе эпюры изгибающих моментов в основной системе M₁ и M_p, стоящие под знаком интеграла, криволинейны. Cпособ Верещагина применить нельзя.

Поэтому в практических расчетах интегралы берут численно, заменяют интегрирование суммированием. Весь расчет, как правило, если он делается “ на руках”, представляется в табличной форме. С примером расчета можно познакомиться в “ Пособии к выполнению работ по строительной механике, часть II”

Укажем лишь на порядок этого расчета.

1.Разбивают пролет арки на n равных отрезков x=l/n. Каждому отрезку на оси абсцисс x соответствует отрезок s_i=x/cos_i,где _i — угол между вертикалью и нормалью к оси арки в расчетной точке i (рис.2.14).Минимальное количество отрезков 6 – 8.Концы отрезков на оси абсцисс и соответствующие точки на оси арки принимаются за расчетные.

Рис.2.14

2.В расчетных точках по заданному уравнению оси арки вычисляют координаты y и значения сos. На каждом интервале величины y и cos полагаются постоянными.

3.Рассчитывают балку с пролетом, равным пролету арки, на заданную нагрузку. В расчетных точках находят значения M_p и Q_p.

4.Берут интегралы ( 13.2 ) численно.

Для этого подставляют в формулы ( 13.2 ) М₁ = - y и заменяют интегрирование суммированием

=

( 14.2 )

Эти суммирования удобно проводить в табличной форме.

5. Вычисляют усилие в затяжке X₁

X₁=- ( 15.2 )

В приведенном расчете жесткость на изгиб EI принята постоянной.

Если рассчитывается двухшарнирная арка , то последнее слагаемое в знаменателе формулы ( 15.2 ) приравнивается нулю : неподвижные шарнирные опоры исключают их перемещение по оси х, что равносильно предположению о бесконечной жесткости затяжки на растяжение Распор в этом случае определяется по формуле

X₁ = - ( 16.2)

6. Вычисляют M.Q и N в расчетных точках по формулам ( Вывод этих формул можно найти в любом учебнике, в том числе в Пособии по строительной механике стержневых систем. Часть 1. Изд.МГАКХиС. 2009).

M=M_p - X₁y

Q=Q_pcos - X₁sin (17.2)

N=-(Q_psin+X₁cos)

М_Р – изгибающий момент от заданной нагрузки в балке с пролетом, равном пролету арки.

Q_Р – поперечная сила от заданной нагрузки в балке с пролетом, равном пролету арки.

Вопросы для самоконтроля

1.Что называют двухшарнирной аркой?

2.В чем отличие арки с затяжкой от двухшарнирной арки?

3.Как выбирается основная система при расчете двухшарнирной арки методом сил?

4. .Как выбирается основная система при расчете арки с затяжкой методом сил?

5.Что отличает расчет арки методом сил от расчета стержневых систем с прямолинейными элементами?

6.Как определяется X₁ в :

1) двухшарнирной арке

2)арке с затяжкой?

7.По каким формулам определяются изгибающие моменты М, поперечные силы Q и продольные силы N в арках?

8. Как отличаются изгибающие моменты от заданной нагрузки в арке от моментов в балке равного пролета?