Глава 2

Применение метода сил к расчету статически неопределимых многопролетных балок, арок и ферм

Рассмотренный в предыдущей главе метод сил применим к расчету многих стержневых систем, имеющих большое практическое применение и прежде всего к расчету многопролетных балок, арок и ферм.

Основная система метода сил, связанная с выбором статически определимой основной системы и устранением противоречий между основной и заданной системами, полностью сохраняется и в расчете всех рассмотренных в этой главе расчетных схем.

Однако в каждом расчете есть некоторая особенность , которую нужно знать.

1.Расчет неразрезных балок

Неразрезная балка - это сплошной брус, лежащий на нескольких опорах. Промежуточные опоры – подвижные шарниры. Концевые опоры могут быть и заделками.(рис.2.1).

Рис.2.1

Действуя по алгоритму, представленному на стр. 4,определяют степень статической неопределимости неразрезной балки. Очевидно, что она равна N – 3, где

N - число опорных связей. Так балка, показанная на рис.2.1а, имеет ссн = N–3= 8 –3= 5 , а балка на рис.2.1b имеет ссн = 9 – 3 = 6.

Выбор правильной основной системы в неразрезной балке имеет решающее значение.

Рассмотрим, например, балку, показанную на рис.2.2а. (Нужно обратить внимание на нумерацию опор и пролетов. Отсчет опор начинается от крайней левой опоры, которой придается номер 0. Тогда номер пролета соответствует его правой опоре.)

В качестве основной системы метода сил принимают схему, состоящую из простых двухопорных балок, полученную врезкой шарниров над каждой опорой(рис.2.2c). Неизвестными оказываются изгибающие моменты ,действующие в опорных сечениях. Преимущество такого выбора основной системы по сравнению с другой возможной,“простой” системой (рис.2.2b) выявляется при составлении канонических уравнений метода сил.

Рис.2.2

Противоречие между основной системой и заданной состоит в том, что балки в двух соседних пролетах под нагрузкой могут поворачиваться друг относительно друга, образуя перелом над опорой. Поэтому физический смысл канонических уравнений состоит в том, что взаимный поворот двух, примыкающих к опоре балок основной системы от заданной нагрузки и всех неизвестных опорных моментов X_i должен быть равен нулю. Запишем уравнение для опоры n.

( 1.2 )

Здесь - взаимные перемещения (повороты) пролетов у опоры n от опорного момента X_i , - взаимный поворот пролетов у опоры n от заданной нагрузки.

Уравнений (1.2) записывают столько, сколько неизвестных Х.

Для вычисления коэффициентов и грузовых членов канонических уравнений метода сил строят единичные и грузовую эпюры моментов (рис. 2.2 d –2.2 i ).

В выбранной основной системе эпюры моментов от единичных воздействий распространяются только на два смежных пролета. Поэтому все коэффициенты, кроме трех и обращаются в ноль, то есть единичные эпюры “зацепляются”только на двух соседних пролетах по отношению к опоре, для которой записывается каноническое уравнение. Поэтому для любой n – ой опоры в уравнении остаются только три неизвестных опорных момента

( 2.2 )

Коэффициенты и свободные (грузовые) члены вычисляются по способу Верещагина.

( 3.2 )

Здесь _n и _n+1 -площади эпюр изгибающих моментов, построенных в n-ом и n+1-ом пролетах в простых шарнирно опертых балках (в основной системе от заданной нагрузки),

a_n - расстояние от центра тяжести площади эпюры моментов в пролете до левой опоры b_n+1 - расстояние от центра тяжести площади эпюры моментов в пролете до правой опоры .

При вычислении коэффициентов принято условие, что изгибные жесткости EI во всех пролетах одинаковы. Несложно учесть и неодинаковость изгибных жесткостей в пролетах.

После подставки ( 3.2 ) в ( 2.2 ) , сокращения на общий множитель и введения вместо Х равных им по смыслу обычных обозначений опорных моментов, канонические уравнения принимают форму "уравнений трех моментов":

M_n-1 l_n+2M_n(l_n+l_n+1)+M_n+1l_n+1= -6 (4.2)

Здесь М_n-1,М_n,М_n+1 – неизвестные изгибающие моменты над опорами и соответственно, l_n, l_n+1- n-й и n+1-й пролеты балки.

Имея систему канонических уравнений метода сил в форме (4.2), нет необходимости строить единичные эпюры.

Порядок расчета неразрезной балки на постоянную нагрузку .

1.Определяют степень статической неопределимости

2.Записывают столько уравнений трех моментов сколько неизвестных опорных моментов есть в решаемой задаче. Для этого в общее уравнение ( 4.2) поочередно подставляют номер опоры ,для которой составляется уравнение.

3.Строят грузовую эпюру М_Р и вычисляют .

Каждый нагруженный пролет рассматривается как балка на двух шарнирных опорах.

Для вычисления грузовых членов нужно уметь вычислять площади эпюр. Для симметричных эпюр это не составляет труда. Полезно знать, где лежит центр тяжести несимметричной треугольной эпюры моментов (рис.2.3).

a_n= b_n= ( 5.2 )

Рис.2.3

Если крайние пролеты неразрезной балки имеют нагруженные консоли, то изгибающие моменты на этих опорах определяются сразу по определению изгибающего момента.

4.Решают систему уравнений (4.2) , находят неизвестные моменты в опорных сечениях.

5..Строят эпюру изгибающих моментов М в неразрезной балке.

Для этого откладывают на опорах в масштабе полученные опорные моменты и соединяют концы этих отрезков прямыми линиями. В пролетах, где нет внешней нагрузки, построенная эпюра моментов будет окончательной. Там, где задана нагрузка, на прямые линии "навешивают" балочные эпюры М_Р.

6.Используя формулу Журавского, по эпюре М строят эпюру поперечных сил Q.

Замечание. Если один из концов неразрезной балки защемлен, то для применения уравнений трех моментов вводят фиктивный пролет (Рис.2.4). Уравнение трех моментов для нулевой опоры будет иметь вид

Рис.2.4

Полагая получаем ( 6.2 )

Если в пролете l₁ нагрузки нет, (как, например, на рис. 2.4),то всегда М₀ = - М₁/2.

Пример расчета двухпролетной балки

Рис.2.5