2. Порядок выполнения работы
Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.
Получить у преподавателя номер варианта.
В соответствии с пунктом 1 задания решить дифференциальное уравнение 1-го порядка 4-мя методами, с этой целью представить математическую формулировку решения для всех изучаемых методов, составить схему алгоритма решения и написать программу в среде СИ++ или MathCad.
Отладить программу и получить результаты расчетов.
Провести проверку полученного решения с помощью встроенной в MathCad функции rkfixed.
Провести анализ полученных результатов.
3. Краткие теоретические сведения
Пусть имеется дифференциальное уравнение вида:
.
Необходимо решить данное уравнение на интервале [a, b]. Начальные условия: x(0)=x0.
Численный метод позволяет осуществить расчет последовательности значений функции f(x,t) путем организации итерационного процесса, где последующее значение функции будет рассчитываться через предыдущее.
Метод Эйлера
Представим функцию x(t) дискретно с интервалом дискретизации Δt (рис. 1).
– две
стоящие рядом точки дискретизации.
Проведем
в точке
касательную
I
к функции x(t).
Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).
Рис. 1. Иллюстрация к методу Эйлера
Согласно рис. 1:
,
где xi, xi+1 – текущая и последующая точки функции x(t) соответственно;
Δx – приращение функции x(t) на интервале Δt.
Величину Δx найдем из прямоугольного треугольника с углом :
.
Геометрический
смысл первой производной функции:
тангенс угла наклона касательной к
функции x(t)
в точке
равен первой производной функции x(t)
в этой точке.
Поэтому:
.
В результате получим формулу:
.
Пример:
Для
уравнения
запишем формулу расчета функции x(t)
согласно
методу Эйлера:
.
Метод Эйлера наиболее прост в реализации, но дает большую погрешность в вычислениях, которую можно понизить путем уменьшения шага дискретизации Δt.
М одифицированный метод Эйлера
Рис. 2. Иллюстрация к модифицированному методу Эйлера
Проведем в точке касательную I к функции x(t). Она пройдет под углом .
Разделим интервал дискретизации Δt пополам с помощью точки ti+1/2. Точку пересечения касательной I с вертикалью ti+1/2 назовем промежуточной точкой xi*.
Если предположить, что функция x(t) проходит через промежуточную точку (xi*,ti+1/2), то в ней также можно построить касательную II к функции x(t). Касательная II пройдет под углом .
Через точку (xi,ti) проведем прямую III параллельно прямой II. Она тоже пройдет под углом .
Точка пересечения прямой III с вертикалью ti+1 представляет собой следующую искомую точку (xi+1,ti+1) функции x(t).
Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).
Согласно рис. 2:
,
где xi, xi+1 – текущая и последующая точки функции x(t) соответственно;
Δx – приращение функции x(t) на интервале Δt.
Величину Δx найдем из прямоугольного треугольника с углом :
.
Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:
,
,
.
Величину Δx* найдем из прямоугольного треугольника с углом :
.
Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:
.
Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим:
.
Пример:
Для уравнения запишем формулу расчета функции x(t) согласно модифицированному методу Эйлера:
.