Первая интерполяционная формула Ньютона

Интерполяционные многочлены Ньютона можно построить только при равноотстоящем расположении узлов интерполирования (точки должны быть равноотстоящие).

Пусть функция y=f(x) задана своими значениями в n+1 узлах интерполирования, т.е.

y₁ = f(x₁); y₂ = f(x₂); … f(x_n+1); … f(x_n+1) = y_n+1

h = x_i+1-x_i = const, n+1=m.

Требуется найти многочлен P_n(x) такой, чтобы

P_n(x₁) = f(x₁)

P_n(x₂) = f(x₂)

.

.

P_n(x_n+1) = f(x_n+1)

(6)

В этой формуле ⁿ у₁ означает конечную разность n-го порядка в точке у₁. Понятие конечной разности связано с понятием производной. По определению производная

В нашем случае х = x_i+1-x_i=h и, как правило, не является бесконечно малой величиной.

у₁ = у₂ – у₁

² у₁ = у₂ –  у₁ = у₃ – 2у₂ + у₁

.

.

ⁿ у₁ = (^n-1y₁).

Первая интерполяционная формула Ньютона не использует последнего узла интерполирования.

ПРИМЕР

Рассмотрим ту же задачу.

Количество экспериментальных точек m=3. Порядок1-й интерполяционной формулы Ньютона n=2.

Формула (6) для n=2 будет выглядеть следующим образом:

у₁ = у₂ – у₁

² у₁ = у₂ –  у₁ = у₃ – 2у₂ + у₁

h=4

или, подставив табличные значения, получим:

.

.

a₀=-1,59375, a₁=3,8125, a₂=-0,21875.

При x=3 P₂(x)= 7,875.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

(7)

Вторая формула Ньютона используется для интерполирования в конце таблицы, т.к. не рассматривает 1-го узла интерполирования (х₁, у₁).

ПРИМЕР

Рассмотрим ту же задачу.

Количество экспериментальных точек m=3. Порядок 2-й интерполяционной формулы Ньютона n=2.

Формула (7) для n=2 будет выглядеть следующим образом:

у₂ = у₃ – у₂

² у₁ = у₂ –  у₁ = у₃ – 2у₂ + у₁

h=4

.

.

a₀=-1,59375, a₁=3,8125, a₂=-0,21875.

При x=3 P₂(x)= 7,875.

4. Контрольные вопросы и задания

1. Сформулировать задачу интерполяции.

2. Сформулировать условие интерполирования.

3. Какие бывают методы интерполяции?

4. Что называют шагом и узлом интерполирования?

5. Что такое равностоящая и не равностоящая интерполяция?

6. Построить полином Лагранжа.

7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

9. Решить систему линейных уравнений методом обращения матриц.

10. Написать первую интерполяционную формулу Ньютона и указать область ее применения.

11. Написать вторую интерполяционную формулу Ньютона и указать область ее применения.

12. Рассчитать неизвестные коэффициенты степенного полинома, используя формулы Лагранжа и Ньютона.

5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку, 2 схемы алгоритмов, 2 листинга программ, 2 распечатки результатов, анализ полученных результатов.

Библиографический список

Бахвалов Н.С. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 632 с.

Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ/ Д. Каханер, К. Моулер, С. Неш. –2-е изд., стер. – М.: Мир, 2001.- 575 с.

Самохин А.Б. Численные методы и программирование на фортране для персонального компьютера/ А.Б. Самохин, А.С. Самохина. – М.: Радио и связь, 1996.- 224 с.

Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высш. шк, 1998. – 479 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1