19. Критерий устойчивости Найквиста.
Только для исследования устойчивости замкнутых систем
Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой.
Частный случай:
отсутствует обратная связь:
(Передаточная функция замкнутой системы,
которая устанавливает связь между
регулирующей величиной и задающим
воздействием, когда
)
– передаточная
функция системы, замкнутой по ошибке.
Дает связь между ошибкой и задающим
воздействием при
.
При подстановке
в качестве p
отношения
получим частотную передаточную функцию
(ч. п. ф.):
(2)
Если на вход звена,
описываемого передаточной функцией
(2), которое представляет собой систему
в разомкнутом состоянии, подать сигнал
по ошибке в виде гармонического колебания
,
то в установившемся режиме на выходе
результирующая величина тоже будет
изменяться по гармоническому закону:
.
Модуль ч. п. ф. разомкнутой системы:
Если изменять от -∞ до ∞, то получим годограф, образующий АФЧХ.
1) Статические системы, т.е. в знаменателе отсутствует сомножитель p, устойч. В замкнутом состоянии.
Введем вспомогательную
функцию
– переходная функция замкнутой системы
по ошибке.
Числитель
.
.
АФЧХ для
:
Рассмотрим рез-й угол поворота:
Числитель
– характерист. комплексн.
Если корни данного
характеристического уравнения лежат
в левой полуплоскости, то при изменении
,
изменится на величину
,
где n
– показатель степени
.
Знаменатель
тоже, по предположению
имеет все корни в левой полуплоскости
для
устойчивости в замкнутом состоянии
системы годограф вектора
не должен охватывать начало координат.
Ч.п.ф. разомкнутой
системы отличается от вспомогательной
на единицу. Поэтому для простоты можно
строить АФЧХ разомкнутой системы по
выражению (2), только в данном случае
годограф не должен охватывать точку
(–1, j0).
Это является необходимым и достаточным
условием, чтобы система была устойчива
в замкнутом состоянии.
Переходная функция
разомкнутой системы:
Годограф абсолютно устойчивой системы:
Уменьшение k
ведет к уменьшению модуля
годограф тем более не охватывает точку
(–1, j0).
Годограф системы на границе устойчивости:
Годограф проходит через точку (–1, j0) замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости.
Годограф неустойчивой системы:
Астатические
системы, знаменатель содержит множитель
.
Астатическая
система 1-го порядка:
Предположим, что
все корни знаменателя передаточной
функции, кроме p=0,
лежат в левой полуплоскости, т.е.
разомкнутая система является нейтральным
случаем. АФЧХ разомкнутой системы будет
иметь разрыв в точке
.
В этой точке
,
а фаза делает скачок на 180º. В этом случае
для объявления необходимо отнести
нулевой корень к левой или правой
полуплоскости.
20. Логарифмические частотные характеристики.
Частотная
передаточная функция
Логарифмическая АЧХ и логарифмическая АФХ:
Измеряется в дБ.
1 дБ соответствует изменению амплитуды
в
раз.
Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется стандартная сетка:
Частный случай:
(1) Модуль
,
тогда
.
ЛАХ – прямая, параллельная оси ОХ.
(2)
,
тогда
.
ЛАХ – прямая, проходящая через точку с
координатами
и
и имеющая отрицательный наклон в 20 дБ.
Имеют свойство: легко могут быть построены экспериментальным путем.
Главное достоинство АЧХ – она может быть представлена в виде суммы сомножителей, когда частотная передаточная функция представлена в виде произведения.
По их графикам можно судить об устойчивости рассматриваемых систем.