Билет 17.

Рассмотрим динамическое звено при подаче на его вход гармонического сигнала x₁(t)=X₁cos(wt)=X₁(e^iwt+ e^-iwt)/2=x₁’+x₁’’. При этом на его выходе также (из-за линейности системы) будет гармоническая функция x₂(t)=X₂cos(wt+u)=X₂(e^iwt+u+ e^-iwt-u)/2=x₂’+x₂’’, сдвинутая относительно входной на u. За счет принципа суперпозиции можно считать: x₁’x₂’, x₁’’x₂’’. В расчетах будем учитывать только первую пару.

Полученное выражение называется частотной передаточной функцией звена. Оно может быть получено из обычной передаточной функции путем замены p=iw.

Частотная передаточная функция есть преобразование Фурье его функции веса:

, где A(w) – модуль чпф, равен отношению амплитуд выходной величины к входной;

u – сдвиг фаз между выходом и входом.

A(w) – амплитудная фазовая характеристика.

u(w) – частотная фазовая характеристика.

Билет 18.

Критерий Найквиста:

Рассмотрим передаточную функцию звена W_р(p), соответствующего устойчивой статической системе, не содержащего в знаменателе p в качестве множителя, т.е. с полюсами в левой полуплоскости.

Введем новую передаточную функцию: , причем степень R меньше степени Q. D(p) – характеристический полином системы.

Определим частотную передаточную функцию: W(iw)=D(iw)/Q(iw) и построим годограф при w= -∞..∞. Определим изменение аргумента данного выражения. Если все корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости, то суммарный угол поворота числителя составит n*П (по аналогии с кривой Михайлова, но там nП/2 и w = 0..∞). Аналогично получим для числителя (степени числителя и знаменателя равны). Учтем, что при делении аргументы комплексных величин вычитаются, т.е. суммарный угол поворота равен 0 и годограф не охватывает начало координат.

Так как вспомогательная передаточная функция W(p) отличается от исходной W_р(p) на единицу, то условие охвата переносится на точку (-1,0i).

Абсолютная устойчивость, условная устойчивость, граница устойчивости, неустойчивость.

При наличии в знаменателе множителя p поступают следующим образом: относят его к левой полуплоскости и обходят справа окружностью бесконечно малого радиуса. В этом случае p0, радиус к ∞, а аргумент совершает скачок на П, т.е. при этом на годографе присутствует полуокружность бесконечно большого радиуса. Для множителя p² будет окружность бесконечно большого радиуса, для пары число мнимых корней произойдет скачок на П. Во всех случаях окружности бб радиуса идет по часовой стрелке.

Обобщенный критерий Найквиста: если в разомкнутом состоянии система имеет l корней в правой полуплоскости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой требуется, чтобы годограф охватывал точку (-1, i0) углом 2lП против часовой стрелки.

Билет 19.

Логарифмические частотные характеристики.

Прологарифмируем частотную АФХЧ. . На практике применяется lg, при этом:

логарифмическая амплитудная характеристика: . Измеряется в децибелах (1 дб – изменение амплитуды в ).

При построении используется логарифмическая координатная сетка. По оси абсцисс откладывается w, по оси ординат L(w) и логарифмическая фазовая характеристика.

Билет 20.

По логарифмическим частотным характеристикам можно определять устойчивость замкнутой системы. Условия нахождения на границе устойчивости: ln|W(iw)|=0, u(w)=arg(W(iw))=-П.

Графически это представимо следующим образом: если лах проходит ось абсцисс левее лфх, то система устойчива.

Критерий Найквиста-Михайлова: замкнутая фазовая система устойчива, если при достижении фазовой характеристикой значения –П, лах отрицательна. Частота, при которой лфх пересекает ось абсцисс называется точкой среза. В случае, если u(w) имеет несколько точек пересечения с осью абсцисс (-П), система устойчива, если число этих пересечений до частоты среза четно.

Билет 21.

При проектировании САУ обязательно требуется задавать запас устойчивости, так как:

1. Проектирование производится с учетом законов механики с отбрасыванием второстепенных факторов;

2. Все параметры рассчитываются с погрешностью;

3. Уравнения звеньев линеаризуются;

4. Расчет ведется по типовым схемам.

По критерию Михайлова на границе устойчивости задать запас в виде окружности конечного радиуса с центром в (0, 0).

По критерию Найквиста (-1, i0)…

Билет 22.

Использование критериев устойчивости для конкретной системы дает результат (один и тот же). Однако критерии имеют свои особенности.

1. Критерий Михайлова-Найквиста удобно использовать в случае возможности экспериментального определения фазовых характеристик системы. Однако вычисление АФЧХ сложнее, чем кривой Михайлова. Кроме того, требуется для ответа на вопрос об устойчивости системы также исследовать разомкнутую систему.

2. Критерий Михайлова возможно использовать для систем произвольного порядка. Совместное применение критериев Михайлова и Найквиста дает возможность постепенного построения кривых с учетом влияния каждого звена. Критерий наглядный и позволяет решать задачу выбора параметров звеньев из условий устойчивости.

3. Алгебраические критерии удобно использовать для систем малого порядка, кроме того, они не дают возможности выбора параметров системы.