Билет 7.

Для исследования САУ применяется ряд входных хорошо известных простых воздействий. К таковым относятся: единичная ступенчатая функция 1(t) и единичная импульсная функция б(t), между которыми выполняется ряд соотношений:

1. 

2. б(t)=1’(t)

3. 

Переходная функция h(t) – переходный процесс на выходе звена при подаче на вход единичной ступенчатой функции.

Весовая функция w(t) – реакция звена на б(t).

Справедливо соотношение: w(t)=h’(t).

Функция веса равна отношению выходной величины звена к площади поданного на его вход импульса.

Переход от оригинала к изображению.

Передаточная функция звена W(p)– отношение изображения выхода звена к его входу.

W(p)=R(p)/Q(p), где корни R(p) – “нули”, Q(p) – “полюса”.

Билет 8.

Для доказательства будем пользоваться 3-мя звеньями.

При последовательном соединении:

x_вх->W₁(p)->y₁->W₂(p)->y₂->W₃(p)->y

y₁=W₁(p)x_вх

y₂=W₂(p)y₁=W₂(p)W₁(p)x_вх

y=W₃(p)W₂(p)W₁(p)x_вх

При параллельном соединении:

y=y₁+y₂+y₃=W₁(p)x_вх+W₂(p)x_вх+W₃(p)x_вх=x_вх(W₁(p)+ W₂(p)+ W₃(p))

При встречно-параллельном соединении (обратная связь):

y=W_п(p)x_вх±W_п(p)y_ос=W_п(p)x_вх±W_п(p)W_ос(p)y

Билет 9.

(pE-A)^-1 – характеристический многочлен матрицы A.

Билет 10.

САУ полностью управляема, если при помощи управляющего воздействия y(t) её можно перевести из состояния x(t0) в состояние x(t1) за конечный промежуток времени принадлежащий интервалу t0..t1.

САУ полностью наблюдаема, если при помощи измерения выходной переменной y(t) возможно определить все её переменные состояния x(t).

M = [B, AB, A²B,…, A^n-1B], (n, n*m)

L = [C^T, A^TC^T, (A^T)²C^T, …(A^T)^n-1C^T], (n, n*l)

A,B,C – из системы билета 9.

Если rang(M)=n – система управляема.

Если rang(L)=n – система наблюдаема.

Билет 11.

X.=Ax+Bu  получение передаточной функции.

Билет 12.

Метод 1. Линеаризация разложением в ряд Тейлора около опорного движения или траектории.

1. На основании изучения физических свойств определяется размерность системы (число независимых переменных), составляются дифференциальные уравнения системы/ее звеньев.

2. Определяется рабочая точка установившегося режима работы звена системы, в которой требуется определить поведение звена/системы при малых отклонениях от установившегося значения координат состояния (x₀,y₀).

3. Несущественно-нелинейные звенья (аналитические) разлагаются в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки (x₀,y₀).

В результате этих действий САУ в переходном и установившемся режиме (x, y) мало отклоняется от заданных программных (x₀,y₀).

Пример:

Метод 2. Использование метода наименьших квадратов.

Метод применяется для определения неизвестных коэффициентов линейных моделей.

Пример:

Линеаризация используется для:

• определения грубых законов в нелинейных системах управления;

• для получения законов управления в адаптивных системах.

Билет 13.

Устойчивость – свойство САУ возвращаться в заданный или близкий ему установившийся режим после какого-либо воздействия.

САУ устойчива, если переходные процессы в ней затухающие, выходная величина является ограниченной при условии, что входная величина также ограничена.

y_вын представляет собой частное решение дифференциального уравнения, является установившейся величиной, y_вын = const.

y_своб является общим решением дифференциального уравнения:

Затухание переходного процесса зависит от вида корней p_i. Учтем, что p∞.

• Если p_i – вещественное: в случае отрицательного значения C_ie^pit – стремится к 0 – затухает, в случае положительного значения – расходится.

• Если p_i – комплексная величина, то при решении характеристического уравнения существует сопряженная с ней величина:

Если α<0, то процесс затухает, если α>0 – расходится, α=0 – гармонические колебания.

Билет 14.

Теоремы Ляпунова:

1. Если все вещественные части корней характеристического уравнения линеаризованной системы отрицательны, то линеаризованная система устойчива. Её невозмущенные движения асимптотически устойчивы и никакие добавки в виде членов с различными нелинейностями не смогут сделать систему неустойчивой.

2. Если по крайней мере один корень линеаризованной системы содержит положительную вещественную часть, то система неустойчива.

3. Если вещественные части корней характеристического уравнения линеаризованной системы равны 0, то свойство устойчивости линеаризованной системы будет неопределенным (система на границе устойчивости).

Билет 15.

Критерий устойчивости Гурвица:

Пусть D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n, тогда:

- определитель Гурвица

Для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы ∆n и все его миноры были положительны при a₀>0.

Билет 16.

Критерий устойчивости Михайлова:

p=iw, w – угловая частота колебаний [0.. ∞).

D(iw)=…D(w)e^iφ(w) = 0

D(p)=a₀(p-p₁)(p-p₂)…(p-p_n)

D(iw)= a₀(iw-p₁)(iw-p₂)…(iw-p_n)

Каждая из скобок представляет собой комплексное число, а при перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Рассмотрим отдельно одну из скобок.

• Если p_i – положительное вещественное число, то при w∞ опишется угол -П/2.

• Если p_i – отрицательное вещественное число, то при w∞ опишется угол П/2.

• Если p_i – комплексное число, то существует сопряженное с ним p_i+1; суммарный угол поворота составит -2П/2, если вещественная часть корней положительна или 2П/2 в обратном случае.

l – число корней с положительной вещественной частью; (n-l) – число корней с отрицательной вещественной частью (n – общее число корней, порядок системы), тогда общий угол поворота составит: φ = -Пl/2 + (n-l)П/2 = nП/2 - lП

Для того, чтобы все вещественные части корней были отрицательны требуется, чтобы суммарный угол поворота составил nП/2, т.е. для устойчивости линейной системы n порядка необходимо и достаточно, чтобы D(iw), описывающий кривую Михайлова при изменении w от 0 до ∞ имел общий угол nП/2.

Кривая Михайлова для устойчивой системы имеет спиралевидную форму, причем е1 конец уходит в бесконечность в квадранте, номер которого равен порядку системы, причем порядок прохождения квадрантов не должен нарушаться (должно происходить чередование корней).

Наличие границ устойчивости определяется так:

• Нулевой корень (1 тип): годограф выходит из (0,0).

• Колебательная граница (2 тип): годограф проходит через (0,0).

• Бесконечный корень (3 тип): a₀ будет проходить через 0-е значение, меняя знак с + на -.