Решение

Инерционным звеном второго порядка называется такое звено, у которого корни характеристического уравнения является вещественными отрицательными (равными или неравными). У этого звена коэффициент затухания 6 > 1. Оно может быть разложено на 2 апериодических звена первого порядка, соединённых последовательно.

Уравнение динамики для этого звена можно записать в следующем виде:

Т²* d²y/dt² + 2 Т* dy/dt + у = кх

где Т - постоянная времени, - коэффициент затухания к - коэффициент передачи.

В зависимости от значения коэффициента затухания, который принимает значения О > > 1 или 0 > < 1, выходное значение у может изменяться по экспоненте ( > 1), совершать незатухающие колебания ( = 0), затухающие колебания ( < 1) и возрастающие колебания < 0.

Запишем дифференциальное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях

(Т² p² +2 Т p+1)Y(p)=кx(p)

откуда передаточная функция звена

W(p) = к/T²p²+2 Tp+1

Практическое задание №4

Дать определение дифференцирующего звена. Определить дифференциальное уравнения для звена. Определить передаточную функцию звена. Привести примеры интегрирующего звена.

Решение

Дифференцирующее звено - звено, в котором выходная величина у пропорциональна скорости изменения входной величины X, т.е. выходная величина пропорци­ональна производной от входной величины.

Различают два вида этих звеньев: идеальное и реальное. Дифференциональное уравнение для идеального дифференцирующего звена записывается в виде:

у = к * dx/dt,

где dx/dt - скорость изменения входной величины.

Запишем уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

Y(p) = крх(р)

Из него найдём передаточную функцию идеального дифференциального звена:

W(p) = кр.

Примером такого звена могла бы служить CR - цепочка, если бы в ней сопротивление

R = 0 и выходное напряжение снималось бы с этого сопротивления. Идеальное дифференцирующее звено практически осуществить невозможно, поэтому в технике применяются реальные дифференцирующие звенья. Последние обладают инерционностью и в них имеются потери энергии. Дифференциальное уравнение для реального дифференцирующего звена можно записать:

T*dy/dt+y=кT*dx/dy

где Т и к- постоянные коэффициенты.

Заменив в уравнении d/dt на р, получим уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

(Тр+1)У(р)= кТрХ(р),

откуда передаточная функция звена:

W(р)=(кT_P)/(Tp+1)

Примерами реальных дифференцирующих звеньев могут служить трансформатор, CR - контур, где выходной величиной является напряжение, снимаемое с сопротивления R, цепь с активным сопротивлением и индуктивностью, где выходной величиной является нап­ряжение, снимаемое с индуктивности L.

Практическое задание №5

Определить критерий устойчивости Вышнеградского для дифференциального уравнения третьего порядка. Построить диаграмму Вышнеградского. Сформулировать критерий устойчивости Вышнеградского.

Решение

Все критерии устойчивости дают возможность установить следующее: отрицательны ли вещественные части всех корней характеристического уравнения или нет, при­чём применение того или иного критерия зависит от конкретных условий. В качестве примера алгебраического критерия устойчивости рассмотрим критерий, предложенный в 1876 г. русским учёным И.А. Вышнеградским. Этот критерий разработан для анализа САР, имеющих дифференциальное уравнение третьего порядка:

1. Разделим все члены уравнения на :

2. Введём новую переменную:

, где

3. Поставив в формулу вместо r значения q со и сделав преобразования, запишем ура­внение в форме Вышнеградского:

, где

4. Построим плоскость с параметрами А и В и нанесём границу устойчивости. Уравнение границы устойчивости можно записать так АВ = 1 (при А > 0; В > 0). Граница устойчивости, котораяая представляет собой равнобокую гиперболу, строится по точкам. Например, если А = 0.5, то В = АВ/А = 1/0.5 = 2 и т.д. Равнобокая гипербола, для которой А и В является асимптотами, делит плоскость на 2 части: 1 - неустойчивая часть, 2 - устойчивая. Приведённый график называется диаграммой Вышнеградского.

Критерий устойчивости Вышнеградского можно формулировать следующим образом - САР, описываемая дифференциальным уравнением третьего порядка, является устойчивой если параметры А и В положительны и произведение их АВ>1;А>0, В>0иАВ>1.

Для суждения о степени близости САР к границе устойчивости пользуются запасами устойчивости.