Практически все тепло идет на нагрев проводника

dQ = Gc d , (17.2)

где G — масса проводника; c — удельная теплоемкость материала про­водника при температуре .

Известно, что G=lq, где  - плотность материала проводника, и С =С₀(1+b ), где С₀ — теплоемкость проводника при =0°С;  — тем­пературный коэффициент теплоемкости.

Таким образом, процесс нагрева при КЗ определится уравнением

r dt = Gc d . (17.3)

После подстановки в уравнение (17.3) развернутых значений r , G, c и перегруппировки членов получим:

.

Проинтегрируем уравнение соответственно переменным: левую часть уравнения от 0 до t_OTK (время отключения), а правую — от _н до _к (начальное и конечное значения температур при КЗ):

. (17.4)

Рис. 17.1 Кривые определения температур нагрева проводников при КЗ

Таблица 17.1. Значение коэффициента k

Проводник	Значение коэффициента k, мм4 °С/(А2С)10-2
Алюминиевые шины, голые алюминиевые провода, кабели с алюминиевыми жилами и пласт­массовой изоляцией, кабели с алюминиевыми сплошными жи­лами и бумажной пропитанной изоляцией То же с медными жилами Кабели с алюминиевыми многопроволочными жилами и бу­мажной пропитанной изоляцией То же с медными жилами	1,054 0,4570 0,9350 0,4186

Обозначим B_k = импульс квадратичного тока КЗ, пропорциональный количеству тепла, выделенного током КЗ в проводнике; по ГОСТ 26522 — 85

В_к — интеграл Джоуля. Метод вычисления В_к изложен ниже. Значение правой части (17.4) обозначим как f_н/k при _н и f_к/k при _К, где k — коэффициент, учитывающий удельное сопротивление и эффективную теплоемкость проводника (табл. 17.1).

Величина f является, как это видно из (17.4), сложной функцией температуры проводника, и если принять f независимой переменной, то можно записать =(f). Зависимость [°С]=(f) приводится в спра­вочной литературе и представлена, в частности, на рис. 17.1.С учетом принятых обозначений интегральное выражение (17.4) примет вид: ,или . (17.5)

Уравнение (17.5) является исходным для определения температуры проводника _к к концу КЗ. Величину f_н, характеризующую тепловое состояние проводника к моменту начала КЗ, можно определить по кривой рис. 17.1 по известной температуре проводника в предшествующем режиме работы _Н.

Определение _Н проводят с использованием выражения

где ₀ — температура окружающей среды; _доп — длительно допустимая температура проводника; ₀,_ном — поминальная температура окружающей среды (согласно ПУЭ ₀,_ном=25°С для воздуха, 15 °С — для земли и воды); I_mах — максимальный ток нагрузки; I_доп — длительно допустимый ток проводника.

Если к f_н прибавить величину kB_К/q², определяемую по известным значениям токов КЗ I_к, коэффициента k (табл. 17.1) и сечения q иссле­дуемого проводника, то по (17.5) получим значение f_K.

По кривым на рис. 17.1, используя f_к, определяем конечное значение температуры проводника в режиме КЗ _к. Если _{к К доп}, то проводник термически стоек.

Определение В_к для оценки термической стойкости производится приб­лиженным способом из-за сложной зависимости тока КЗ от времени. При этом полный импульс квадратичного тока КЗ разбивается на две составляющие с учетом структуры полного тока КЗ по выражению: ;

; (17.6)

здесь В_К,П , В_К,а — импульсы квадратичного тока КЗ соответственно от пе­риодической и апериодической составляющих.

Импульс квадратичного тока КЗ определяется по-разному в зависи­мости от местонахождения точки КЗ. Можно выделить три характерных случая (по аналогии с расчетом тока КЗ): удаленное КЗ, КЗ вблизи генераторов или синхронных компенсаторов, КЗ вблизи группы мощных электродвигателей.

В первом случае периодическая составляющая тока КЗ является неза­тухающей во времени, т. е.

, (17.7) где I_П,0 — начальное значение периодической составляющей тока КЗ, сум­марное от всех источников.

Изменение апериодической составляющей тока КЗ описывается вы­ражением .

Импульс квадратичного тока КЗ от апериодической составляющей можно определить как

, а после преобразований . (17.8)

Если время t_OTK равно или превышает T_a, что обычно имеет место, то можно принять , (17.9)

и полный импульс квадратичного тока КЗ определится из выражения . (17.10)

Данный способ рекомендуется при вычислении импульса квадратичного тока КЗ в цепях понизительных подстанций (исключение составляют КЗ на шинах 3-10 кВ подстанций, к которым подключены крупные электро­двигатели или синхронные компенсаторы), в цепях высшего напряжения электростанций, в цепях генераторного напряжения электростанций, если место КЗ находится за реактором.

Наиболее сложным является случай определения импульса квадратич­ного тока при КЗ вблизи генераторов или синхронных компенсаторов, а также в цепях генераторного напряжения электростанций типа ТЭЦ. Решение производится различно в зависимости от мощности генераторов и их типа.

Для ориентировочных расчетов можно воспользоваться уравнением (17.10). При этом вычисленное значение импульса квадратичного тока КЗ будет несколько завышено, так как в действительности ток затухает. Но уточнять значение В_к, как правило, не требуется, поскольку провод­ники и аппараты, выбранные в мощных присоединениях (генератор, транс­форматор связи и др.), по условиям длительного режима и электроди­намической стойкости имеют значительные запасы по термической стойкости.

Известную трудность при расчетах В_к представляет собой определение значения постоянной Т_a. При оценке В_к в случае КЗ на шинах электростанций по суммарному току КЗ приближенно можно считать Т_a, равной:

Шины электростанции 6-10 кВ с генераторами 30-60 МВт .... 0,185с

Шины повышенного напряжения электростанции с трансформаторами:

32 МВ-А и выше ................... 0,115 с

100 МВ-А и выше .................. 0,14 с

При КЗ вблизи группы электродвигателей, например в системе собст­венных нужд ТЭС, необходимо учитывать их влияние на импульс квад­ратичного тока КЗ. Для определения суммарного импульса квадратич­ного тока КЗ с учетом электродвигателей рекомендуется пользо­ваться формулой

, (17.11)

где

. (17.12)

В этих выражениях I_П,0,С , I_П,0,Д , T_а,Д , T_а,с , T_Д являются параметрами режима КЗ.

Для пользования формулами при нахождении В_к необходимо доста­точно точно определять t_OTK.

Согласно ПУЭ время отключения (время действия тока КЗ) t_отк скла­дывается из времени действия основной релейной защиты данной цепи t_рз с учетом действия АПВ и полного времени отключения выключателя t_отк,b:

t_оTK = t_р,з + t_ОТК,В (17.13)

Действующие нормативы рекомендуют для цепей генераторов 60 МВт и выше, учитывая их особую ответственность, принимать время t_отк=4с, т.е. по времени резервной защиты.

Для упрощения анализа термической стойкости проводников часто используется понятие минимального сечения проводника q_min.

Минимальное сечение проводника, отвечающее требованию его терми­ческой стойкости при коротком замыкании, т. е. такое сечение, которое при заданном токе КЗ обусловливает нагрев проводника до кратковре­менно допустимой температуры, можно определить по формуле

(17.14)

Значения f_к,_доп и f_н следует определять по кривым рис. 17.1 для соответствующих температур _доп и _н.

При приближенных расчетах минимальное сечение проводника, отве­чающее требованию его термической стойкости при КЗ, можно определить по формуле

(17.15) где С — функция, значения которой приведены в табл. 17.2.

Очевидно, что проводник сечением q будет термически стойким, если выполняется условие q q_min.

При выборе электрических аппаратов обычно не требуется определять температуру токоведущих частей, поскольку завод-изготовитель по данным специальных испытаний и расчетов гарантирует время и среднеквадра­тичный ток термической стойкости. Другими словами, в каталогах при­водится значение гарантированного импульса среднеквадратичного тока КЗ, который выдерживается аппаратом без повреждений, препятствующих дальнейшей нормальной работе. Условие проверки термической стойкости в этом случае следующее:

В_к I² _тер t_тер ,

где В_к - расчетный импульс квадратичного тока КЗ, определяемый по изложенной выше методике; I_тер и t_тер — соответственно среднеквадратич­ный ток термической стойкости и время его протекания (номинальные значения).

В ПУЭ и руководящих указаниях оговорен ряд случаев, когда допустимо не проверять проводники и аппараты на термическую стойкость при КЗ. Это касается проводов воздушных линий при отсутствии на них быстродействующего АПВ, аппаратов и проводников цепей, защищен­ных плавкими предохранителями, проводников цепей трансформаторов напряжения и некоторых других случаев.

Таблица 17.2. Значение функции С

Проводник	Значение функции С А-с1/2/мм2
Шины: алюминиевые медные Кабель: с алюминиевыми сплошными жилами и бумажной изоляцией с алюминиевыми многопроволочными жилами и бумажной изоляцией с медными сплошными жилами и бумажной изоляцией с медными многопроволочными жилами и бумажной изоляцией с алюминиевыми жилами и поливинилхлоридной изоляцией с медными жилами и поливинилхлоридной изоляцией с алюминиевыми жилами и полиэтиленовой изоляцией с медными жилами и полиэтиленовой изоляцией	91 167 при номинальном напряжении, кВ
	6	10
	92 98 140 147 75 114 62 94	94 100 143 150 78 118 65 98

II. При КЗ за время dt в проводнике выделяется количество тепла

где I_к,t - действующее значение полного тока КЗ в момент t КЗ; r_ - активное сопротивление проводника при данной его температуре .

Обозначим — импульс квадратичного тока КЗ, пропорциональный количеству тепла, выделенного током КЗ в проводнике.

Определение B_к для оценки термической стойкости производится приближенным способом из-за сложной зависимости тока КЗ от времени. При этом полный импульс квадратичного тока КЗ разбивается на две составляющие с учетом структуры полного тока КЗ по выражению :

здесь B_к,п , B_к,а— импульсы квадратичного тока КЗ соответственно от периодической и апериодической составляющих.

Периодическая составляющая тока КЗ является незатухающей во времени, т. е.

где I_п,0 -начальное значение периодической составляющей тока КЗ.

Изменение апериодической составляющей тока КЗ описывается выражением

Импульс квадратичного тока КЗ от апериодической составляющей можно определить как

а после преобразований

Если время t_отк равно или превышает T_a, что обычно имеет место, то можно принять

,

и полный импульс квадратичного тока КЗ определится из выражения

.

Согласно ПУЭ время отключения (время действия тока КЗ) t_отк скла-дывается из времени действия основной релейной защиты данной цепи t_рз с учетом действия АПВ и полного времени отключения выключателя t_отк,_В:

t_отк = t_p,з + t _отк,В

Для упрощения анализа термической стойкости проводников часто используется понятие минимального сечения проводника q_min.

Минимальное сечение проводника, отвечающее требованию его термической стойкости при коротком замыкании, т. е. такое сечение, которое при заданном токе КЗ обуславливает нагрев проводника до кратковременно допустимой температуры, можно определить по формуле

,

где С - функция, значения которой принимаются по таблицам.

Очевидно, что проводник сечением q будет термически стойким, если выполняется условие q q_min.

При выборе электрических аппаратов обычно не требуется определять температуру токоведущих частей, поскольку завод-изготовитель гарантирует время и среднеквадратичный ток термической стойкости. Другими словами, в каталогах приводится значение гарантированного импульса среднеквадратичного тока КЗ, который выдерживается аппаратом без повреждений, препятствующих дальнейшей нормальной работе. Условие проверки термической стойкости в этом случае следующее:

,

где B_к — расчетный импульс квадратичного тока КЗ, определяемый по изложенной выше методике; I_тер и t_тер - соответственно среднеквадратичный ток термической стойкости и время его протекания (номинальные значения).

В ПУЭ и руководящих указаниях оговорен ряд случаев, когда допустимо не проверять проводники и аппараты на термическую стойкость при КЗ. Это касается проводов воздушных линий при отсутствии на них быстродействующего АПВ, аппаратов и проводников цепей, защищенных плавкими предохранителями, проводников цепей трансформатора напряжения и некоторых других случаев.